Um corpo oscila com movimento harmônico simples de acordo com a equação (unidades no SI):
x(t)=(8,0) \cos [(2 \pi) \cdot t+(\pi / 4)]
Em t=3,0 s, qual é a frequência?

Passo 1

O enunciado dá o movimento:
x(t)=(8,0)\cos\big[(2\pi)\cdot t+(\pi/4)\big]
e pergunta: em t=3,0\\ \text{s}, qual é a frequência?\n
Informações relevantes fornecidas:
\;x(t) explicitamente escrita, com coeficiente de t dentro do cosseno igual a (2\pi).
\;t=3,0\\ \text{s} é o instante indicado (o enunciado pede a frequência nesse instante).

Passo 2

Vamos entender a forma padrão do movimento harmônico simples e o que cada símbolo significa.
A forma padrão é
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude (valor máximo do deslocamento), em unidades de distância.
  • \omega é a frequência angular, medida em rad/s; é o coeficiente que multiplica t dentro do argumento do cosseno.
  • \varphi é a fase inicial, em radianos; determina a posição inicial no ciclo.
  • t é o tempo, em segundos.\n
    Importante: a frequência angular \omega não é a mesma coisa que a frequência f (em Hz). A relação entre elas vai aparecer no próximo passo.

Passo 3

Identificamos os parâmetros na função dada:
A=8,0,\qquad \omega=(2\pi),\qquad \varphi=\pi/4.
Observação: peguei o valor de \omega a partir do coeficiente de t dentro do cosseno, que no enunciado é exatamente (2\pi).

Passo 4

Agora a relação entre frequência angular \omega, período T e frequência f:
Uma oscilação completa corresponde a uma variação de 2\pi no argumento do cosseno. Se \omega t deve variar 2\pi para um ciclo, então o período é
T=\frac{2\pi}{\omega}.
A frequência f (em Hz) é o inverso do período:
f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}.
Aqui explico de forma bem direta: \omega diz quantos radianos por segundo o argumento avança; como um ciclo tem 2\pi radianos, o número de ciclos por segundo é \omega/(2\pi).

Passo 5

Aplicando a fórmula com o valor identificado de \omega:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{2\pi}{2\pi}=1.
Portanto f=1 (unidade: hertz).

Passo 6

Pequena verificação e comentário didático: a frequência é uma característica do movimento inteiro (não depende do instante t). Por isso, em t=3,0\\ \text{s} a frequência continua sendo 1\\ \text{Hz}. O período correspondente é
T=\frac{1}{f}=1\\ \text{s}.

Passo 7

Exemplo extra rápido para fixar: se tivéssemos x(t)=\cos(4\pi t+\dots), então \omega=4\pi e
f=\frac{4\pi}{2\pi}=2\\ \text{Hz}.
Isso ajuda a ver a regra: o fator multiplicando \pi dentro do argumento determina diretamente a frequência.

Resposta

1\\ \mathrm{Hz}

Exercícios relacionados