6- Um corpo de prova cilíndrico feito de aço, de diâmetro original de 12,8 \mathrm{~mm} é testado sob tração até a sua fratura. Apresentou resistência à fratura de 460 MPa . Se o diâmetro de sua seção reta no momento da fratura era de 10,7 \mathrm{~mm}, determinar:
a. A ductilidade em termos da redução de área percentual;
b. A tensão verdadeira no momento da fratura;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Diâmetro inicial: d_0 = 12,8\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro no momento da fratura: d_f = 10,7\\ \mathrm{mm}.
  • Resistência (tensão) à fratura informada: \sigma_{\text{eng}} = 460\\ \mathrm{MPa}. Pressuponho que esse valor é a tensão de engenharia (força dividida pela área inicial).
Perguntas:
a. Determinar a ductilidade em termos da redução de área percentual (ou seja, a redução percentual da área da seção transversal entre início e fratura).
b. Determinar a tensão verdadeira no momento da fratura (ou seja, a tensão calculada com a área reduzida).

Passo 2

Primeiro, lembrar a fórmula da área de uma seção circular e uma observação prática útil para essa questão:
  • Área de um círculo: A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
  • Como a constante \pi/4 aparece tanto em A_0 quanto em A_f, ao calcular razões de áreas ela se cancela. Assim, a razão entre áreas é simplesmente o quadrado da razão entre os diâmetros:
\frac{A_f}{A_0}=\left(\frac{d_f}{d_0}\right)^{2}.
Vamos calcular \left(\dfrac{d_f}{d_0}\right). Note que podemos escrever exatamente:
\frac{d_f}{d_0}=\frac{10,7}{12,8}=\frac{107}{128},
pois multipliquei numerador e denominador por 10. Então
\left(\frac{d_f}{d_0}\right)^{2}=\left(\frac{107}{128}\right)^{2}=\frac{11449}{16384}\approx 0,69873046875.
Portanto \dfrac{A_f}{A_0}=\dfrac{11449}{16384}\approx 0,69873046875.

Passo 3

Agora calculamos a redução de área percentual. A redução de área (fracionária) é
\text{RA} = \frac{A_0-A_f}{A_0}=1-\frac{A_f}{A_0}.
Substituindo a razão encontrada:
\text{RA}=1-\frac{11449}{16384}=\frac{4935}{16384}\approx 0,30126953125.
Convertendo para percentagem:
\text{Redução de área (\%)} = \text{RA}\times 100\% \approx 30,126953125\%.çãá
Arredondando de forma prática (duas casas decimais): \approx 30,13\%.

Passo 4

Agora vamos achar a tensão verdadeira no momento da fratura. Conceito e fórmula:
  • Tensão de engenharia é \sigma_{\text{eng}} = \dfrac{F}{A_0}, logo a força é F=\sigma_{\text{eng}} A_0.
  • A tensão verdadeira (instantânea) é \sigma_{\text{true}}=\dfrac{F}{A_f}. Substituindo F:
\sigma_{\text{true}}=\sigma_{\text{eng}}\cdot\frac{A_0}{A_f}=\sigma_{\text{eng}}\cdot\frac{1}{A_f/A_0}.
Já calculámos A_f/A_0=\dfrac{11449}{16384}. Assim
\sigma_{\text{true}}=\;460\\ \mathrm{MPa}\times\frac{16384}{11449}.
Vamos calcular numericamente essa multiplicação. Usando a fração:
\sigma_{\text{true}}=\frac{460\cdot 16384}{11449}\\ \mathrm{MPa}\approx 658,280\\ \mathrm{MPa}.
Arredondando de forma prática (duas casas decimais): \approx 658,28\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

a. 30,13\%
b. 658,28\\ \mathrm{MPa}

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