Um corpo de prova cúbico de uma argila seca ( \mathrm{Sr}=0 ) tem 3,0 \mathrm{~cm} de lado e massa de 46 g . Ao serem acrescentados 10,5 \mathrm{~cm}^{3} de água o corpo de prova de argila permanece com o mesmo volume inicial, porém passa ao estado saturado ( \mathrm{Sr}=1 ). Nesta condição, considerando \rho_{w}=1,0 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, o corpo de prova passa a ter uma massa de 56,5 \mathrm{~g}. Lembre-se que \mathrm{V}=\mathrm{Vs}+\mathrm{V} v e que \mathrm{Vv}=\mathrm{Vw}+\mathrm{Va}. Determine:
a) a umidade na qual o corpo de prova é saturado;
b) o volume de sólidos;
c) massa específica dos sólidos.

Passo 1

O enunciado dá um corpo de prova cúbico e pede três coisas. Dados e perguntas listados claramente:
Dados:
  • lado do cubo: 3{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • massa a seco (corpo não hidratado, \mathrm{Sr}=0): 46\\ \mathrm{g}.
  • ao acrescentar 10{,}5\\ \mathrm{cm}^3 de água o corpo fica saturado ( \mathrm{Sr}=1) e a massa passa a ser 56{,}5\\ \mathrm{g}.
  • densidade da água: \rho_w=1{,}0\\ \mathrm{g/cm^3}.
  • relação volumétrica lembrada: V = V_s + V_v e V_v = V_w + V_a.
Perguntas:
a) Determinar a umidade na qual o corpo de prova é saturado (umidade gravimétrica w).
b) Determinar o volume de sólidos V_s.
c) Determinar a massa específica (densidade) dos sólidos \rho_s.

Passo 2

Definições e fórmulas necessárias (explicadas passo a passo, sem pular etapas):
  • Volume total do cubo: é o cubo do lado. Fórmula:
V = \text{lado}^3.
Aqui V tem unidade \mathrm{cm}^3.
  • Umidade gravimétrica w: razão entre a massa de água presente e a massa de sólidos (massa seca). Fórmula:
w = \frac{M_w}{M_s},
onde M_w é a massa de água no corpo e M_s é a massa dos sólidos (massa seca). w é adimensional; para apresentar em porcentagem multiplica-se por 100\%.
  • Relação entre volumes no estado saturado: grau de saturação \mathrm{Sr}=1 significa que todos os vazios estão preenchidos por água, ou seja V_v = V_w e V_a=0. Logo:
V_s = V - V_w.
  • Massa específica dos sólidos (densidade das partículas) \rho_s: razão entre a massa dos sólidos e o volume de sólidos:
\rho_s = \frac{M_s}{V_s}.
Unidade: \mathrm{g/cm^3}.

Passo 3

Calcular o volume total V do cubo (usando 3{,}0\\ \mathrm{cm} de lado). Aplico a fórmula V = \text{lado}^3:
V = 3{,}0^3 = 27{,}0\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 4

Determinar as massas envolvidas:
  • A massa dos sólidos (massa seca) é dada no enunciado como 46\\ \mathrm{g}. Logo:
M_s = 46\\ \mathrm{g}.
  • A massa de água adicionada para chegar à saturação é o volume de água vezes a densidade da água. O enunciado diz que foram acrescentados 10{,}5\\ \mathrm{cm}^3 de água e \rho_w=1{,}0\\ \mathrm{g/cm^3}. Portanto a massa de água é:
M_w = V_w \cdot \rho_w = 10{,}5\\ \mathrm{cm}^3 \cdot 1{,}0\\ \mathrm{g/cm^3} = 10{,}5\\ \mathrm{g}.
(Confirmação rápida: massa final 46 + 10{,}5 = 56{,}5\\ \mathrm{g} conforme dado.)

Passo 5

Calcular a umidade gravimétrica w usando w = \dfrac{M_w}{M_s}. Substituo os valores:
w = \frac{10{,}5}{46}.
Faço a divisão (mostrando o raciocínio para poder fazer na prova sem calculadora: 46\cdot0{,}2=9{,}2, sobra 1{,}3; 46\cdot0{,}02=0{,}92, soma 10{,}12; então estamos perto de 0{,}228 — mas calculo direto dá):
w \approx 0{,}22826\ldots
Convertendo para porcentagem:
w \approx 22{,}826\%\approx 22{,}8\%.

Passo 6

Calcular o volume de sólidos V_s. Lembre que em saturação V_w = 10{,}5\\ \mathrm{cm}^3 preenche todos os vazios, então:
V_s = V - V_w.
Substituo V=27{,}0\\ \mathrm{cm}^3 e V_w=10{,}5\\ \mathrm{cm}^3:
V_s = 27{,}0 - 10{,}5 = 16{,}5\\ \mathrm{cm}^3.
Expliquei: V_s é simplesmente o volume que os grãos sólidos ocupam; como o volume total não mudou, o volume dos vazios era exatamente o volume de água adicionada.

Passo 7

Calcular a massa específica (densidade) dos sólidos \rho_s usando \rho_s = \dfrac{M_s}{V_s}. Substituo:
\rho_s = \frac{46}{16{,}5}.
Faço a divisão: 16{,}5\cdot2{,}7=44{,}55; sobra 1{,}45; 16{,}5\cdot0{,}08=1{,}32; soma 45{,}87; precisamos um pouco mais; resultado aproximado:
\rho_s \approx 2{,}7879\ldots\\ \mathrm{g/cm^3}.
Arredondando de forma prática para a prova:
\rho_s \approx 2{,}79\\ \mathrm{g/cm^3}.

Passo 8

Resumo numérico e interpretação curta para fixar: a umidade gravimétrica de saturação w indica quantos gramas de água há por grama de sólidos; o volume de sólidos V_s é o volume do material mineral/partículas; e \rho_s é a densidade das partículas (valor típico para minerais cerâmicos/argilosos fica entre 2,6 e 2,8, então nosso resultado é coerente).

Resposta

a) w \approx 22{,}8\%
b) V_s = 16{,}5\\ \mathrm{cm}^3
c) \rho_s \approx 2{,}79\\ \mathrm{g/cm^3}

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