Um corpo de prova para ensaio de tração, tendo um diâmetro inicial de 11,29 \mathrm{~mm} e um comprimento padrão de 50,0 \mathrm{~mm}, foi ensaiado até a ruptura, conforme tabela abaixo. Determine:
Módulo de Resiliência Ur \boldsymbol{(} \mathbf{M J} \boldsymbol{/} \mathbf{m}^{\mathbf{3}} \boldsymbol{)}
SL (mm) SD (mm)(-) Ft (KN)
0 0 0
0,05 0,0035 18,2
0,1 0,007 36,4
0,15 0,0105 39,4
0,2 0,014 40,2
0,25 0,018 41,5
0,5 0,032 41,4
1 0,063 41,6
1,5 0,12 41,5
2 0,18 45
3 0,3 48,3
4 0,401 49,7
5 0,56 50,1
6 0,677 50,4
7 0,79 50,2
8 0,903 48,3
9 1,001 47,2
Ruptura 46,4

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado (peguei estes números da tabela):
  • Pedem o módulo de resiliência U_r em \mathrm{MJ/m^3}.
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro inicial do corpo de prova: d=11{,}29\\ \mathrm{mm}.
    • Comprimento padrão: L_0=50{,}0\\ \mathrm{mm} (não é usado diretamente no cálculo de U_r quando a deformação já está dada).
    • Tabela com deformações SD (adimensional) e forças F_t (em \mathrm{kN}).
      Peguei da tabela os pontos iniciais para identificar a região elástica: \,SD=0{,}0035,\;F_t=18{,}2\\ \mathrm{kN}\, e \,SD=0{,}007,\;F_t=36{,}4\\ \mathrm{kN}\,.
  • Definição objetiva que vou usar: o módulo de resiliência U_r é a energia por unidade de volume absorvida até o limite elástico (área sob a curva tensão–deformação de 0 até \varepsilon_p, o limite proporcional). Para comportamento linear elástico vale \;U_r=\tfrac{1}{2}\sigma_p\varepsilon_p\; (explico e uso isto nos passos seguintes).

Passo 2

Cálculo da área da seção inicial A_0 (fórmula e unidades).
  • Fórmula da área de um círculo: \displaystyle A_0=\frac{\pi d^2}{4}.
  • Substituindo d=11{,}29\\ \mathrm{mm}:
A_0=\frac{\pi\,(11{,}29)^2}{4}\\ \mathrm{mm^2}.
  • Cálculo numérico:
11{,}29^2=127{,}4641, \qquad A_0=\frac{\pi\cdot127{,}4641}{4}\approx100{,}15\\ \mathrm{mm^2}.
Observação de unidades: 1\\ \mathrm{mm^2}=10^{-6}\\ \mathrm{m^2}, logo A_0\approx100{,}15\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2}=1{,}0015\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.

Passo 3

Converter forças em tensões (peguei F_t da tabela). Fórmula e cálculo dos dois primeiros pontos da região inicial:
  • Fórmula da tensão de engenharia: \displaystyle \sigma=\frac{F}{A_0}.
  • Forças convertidas para newtons: F(\mathrm{N})=F_t(\mathrm{kN})\times1000.
  • Para SD=0{,}0035,\;F_t=18{,}2\\ \mathrm{kN}:
\sigma_1=\frac{18{,}2\times1000}{100{,}15}\\ \mathrm{N/mm^2}\approx\frac{18200}{100{,}15}\approx181{,}7\\ \mathrm{MPa}.
  • Para SD=0{,}007,\;F_t=36{,}4\\ \mathrm{kN}:
\sigma_2=\frac{36{,}4\times1000}{100{,}15}\approx\frac{36400}{100{,}15}\approx363{,}3\\ \mathrm{MPa}.
Nota: usei \mathrm{N/mm^2}=\mathrm{MPa}, que facilita a interpretação energética depois.

Passo 4

Identificar a região elástica e o limite proporcional (\varepsilon_p,\sigma_p).
  • Verificando os dois pontos iniciais: ao dobrar a deformação de 0{,}0035 para 0{,}007 a tensão praticamente dobra de 181{,}7 para 363{,}3\\ \mathrm{MPa}. Isso indica comportamento linear-elástico até \varepsilon=0{,}007.
  • Como o próximo ponto da tabela em \,SD=0{,}0105 F_t=39{,}4\\ \mathrm{kN} (o que já foge da proporcionalidade), considero o limite proporcional em
\varepsilon_p=0{,}007,\qquad \sigma_p=363{,}3\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Fórmula do módulo de resiliência para material linear-elástico e unidades (explicação didática).
  • Conceito: U_r é a área sob a curva \sigma(\varepsilon) desde 0 até \varepsilon_p.
  • Se a relação é linear \sigma=E\varepsilon até \varepsilon_p, então a área é a área de um triângulo de base \varepsilon_p e altura \sigma_p:
U_r=\int_0^{\varepsilon_p}\sigma\,d\varepsilon=\frac{1}{2}\sigma_p\varepsilon_p.
  • Observação de unidades: \sigma em \mathrm{MPa} e \varepsilon adimensional → o produto tem unidades \mathrm{MPa}. E 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N/mm^2}=1\times10^{6}\\ \mathrm{N/m^2}=1\times10^{6}\\ \mathrm{J/m^3}=1\\ \mathrm{MJ/m^3}. Portanto o valor numérico em MPa é numericamente igual a \mathrm{MJ/m^3}.

Passo 6

Cálculo numérico de U_r com os valores identificados.
U_r=\frac{1}{2}\sigma_p\varepsilon_p=\frac{1}{2}\cdot363{,}3\\ \mathrm{MPa}\cdot0{,}007.
Calcule passo a passo:
\sigma_p\varepsilon_p=363{,}3\times0{,}007=2{,}5431\\ \mathrm{MPa},
U_r=\frac{1}{2}\times2{,}5431=1{,}2716\\ \mathrm{MPa}.
Convertendo para \mathrm{MJ/m^3} (mesma ordem de grandeza numérica):
U_r\approx1{,}272\\ \mathrm{MJ/m^3}.

Passo 7

Verificação alternativa (checar consistência) usando \;U_r=\dfrac{\sigma_p^2}{2E}\; (onde E é o módulo de Young) e cálculo de E pela inclinação inicial:
  • Cálculo aproximado de E pela razão entre os dois pontos iniciais:
E\approx\frac{\Delta\sigma}{\Delta\varepsilon}=\frac{363{,}3-181{,}7}{0{,}007-0{,}0035}=\frac{181{,}6}{0{,}0035}\approx51{,}90\times10^{3}\\ \mathrm{MPa}.
  • Então
U_r\approx\frac{(363{,}3)^2}{2\cdot51900}\\ \mathrm{MPa}\approx1{,}272\\ \mathrm{MPa},
o que confirma o valor calculado anteriormente (pequenas diferenças de arredondamento).

Resposta

U_r \approx 1{,}272\\ \mathrm{MJ/m^3}

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