Um corpo de prova para ensaio de tração, tendo um diâmetro inicial de 11,29 \mathrm{~mm} e um comprimento padrão de 50,0 \mathrm{~mm}, foi ensaiado até a ruptura, conforme tabela abaixo. Determine:
Tensão de Escoamento \sigma_{e} (Mpa)
SL (mm) SD (mm)(-) Ft (KN)
0 0 0
0,05 0,0035 18,2
0,1 0,007 36,4
0,15 0,0105 39,4
0,2 0,014 40,2
0,25 0,018 41,5
0,5 0,032 41,4
1 0,063 41,6
1,5 0,12 41,5
2 0,18 45
3 0,3 48,3
4 0,401 49,7
5 0,56 50,1
6 0,677 50,4
7 0,79 50,2
8 0,903 48,3
9 1,001 47,2
Ruptura 46,4

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (vou listar tudo claramente):
  • Diâmetro inicial do corpo de prova: \,d_0 = 11{,}29\\ \text{mm}.
  • Comprimento padrão (gauge length) inicial: \,L_0 = 50{,}0\\ \text{mm}.
  • Tabela de ensaio com deslocamento do alvo (SL, em mm), variação do diâmetro (SD) e força axial F_t em kN (coloquei os pares relevantes abaixo):
    • \,SL = 0{,}00\\ \text{mm},\\ F_t = 0{,}0\\ \text{kN}
    • \,SL = 0{,}05\\ \text{mm},\\ F_t = 18{,}2\\ \text{kN}
    • \,SL = 0{,}10\\ \text{mm},\\ F_t = 36{,}4\\ \text{kN}
    • \,SL = 0{,}15\\ \text{mm},\\ F_t = 39{,}4\\ \text{kN}
    • \,SL = 0{,}20\\ \text{mm},\\ F_t = 40{,}2\\ \text{kN}
    • \,SL = 0{,}25\\ \text{mm},\\ F_t = 41{,}5\\ \text{kN}
    • (e assim por diante até a ruptura; usei os pontos iniciais e os próximos para determinar o escoamento)
  • O que é pedido: determinar a tensão de escoamento \sigma_{e} em MPa.
Observações importantes (do enunciado):
  • A tabela fornece o alongamento do corpo de prova em mm ( SL) — vou usar isso para calcular a deformação de engenharia \varepsilon = \dfrac{\Delta L}{L_0}.
  • O enunciado não diz explicitamente qual critério de escoamento usar. O critério mais comum em ensaios é a “tensão de escoamento por 0,2% de offset” (tensão de prova a 0,2%): vou usar esse método e explico por quê e como fazer nos próximos passos.

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas (aula rápida e prática):
  1. Tensão de engenharia (também chamada tensão nominal):
\sigma = \frac{F}{A_0},
onde \,F é a força axial (em N) e \,A_0 é a área da secção transversal inicial (em \text{mm}^2). Se F está em kN, multiplica-se por 1000 para converter para N; como 1\\ \text{MPa} = 1\\ \text{N}/\text{mm}^2, o resultado em \text{N}/\text{mm}^2 já é MPa.
  1. Área da seção circular inicial:
A_0 = \frac{\pi d_0^2}{4},
onde \,d_0 é o diâmetro inicial em mm.
  1. Deformação de engenharia (tensão uniaxial):
\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{SL}{L_0},
pois a tabela fornece SL=\Delta L em mm e L_0=50{,}0\\ \text{mm}.
  1. Método do desvio de 0{,}2\% (offset 0,2%):
  • Primeiro estima-se o módulo de elasticidade E pela inclinação inicial (região linear) da curva tensão-deformação.
  • Traça-se uma reta paralela à reta elástica, deslocada no eixo da deformação por \,0{,}002 (que é 0{,}2\% em fração). Essa reta tem equação
\sigma_{\text{offset}}(\varepsilon)=E(\varepsilon-0{,}002).
  • A tensão de escoamento \sigma_e é o valor de \sigma no ponto de interseção entre a curva experimental \sigma(\varepsilon) e \sigma_{\text{offset}}(\varepsilon).
Vou aplicar todas essas fórmulas passo a passo aos dados.

Passo 3

Calcular a área inicial A_0 e o fator de conversão força→tensão:
A_0=\frac{\pi d_0^2}{4}=\frac{\pi(11{,}29)^2}{4}.
Calculemos numericamente:
(11{,}29)^2 = 127{,}4641.
A_0=\frac{\pi\cdot127{,}4641}{4}\approx 100{,}09\\ \text{mm}^2.
Logo o fator de conversão de F em \text{kN} para \sigma em MPa é
\frac{1000}{A_0}\approx\frac{1000}{100{,}0893}\approx 9{,}9911\\ \frac{\text{MPa}}{\text{kN}}.
Isto significa que \sigma\\ \text{(MPa)} \approx 9{,}9911\cdot F_t\\ \text{(kN)}.

Passo 4

Montar os primeiros pontos \varepsilon e \sigma (cálculo explícito, bem mastigado):
Para cada linha usamos \varepsilon = \dfrac{SL}{L_0} com L_0=50{,}0\\ \text{mm} e \sigma = 9{,}9911\cdot F_t.
Cálculos (apresento os pontos iniciais usados para encontrar E e localizar o escoamento):
  • SL=0{,}00\\ \text{mm}: \varepsilon=0, F_t=0{,}0\\ \text{kN} \sigma=0\\ \text{MPa}.
  • SL=0{,}05\\ \text{mm}: \varepsilon=\dfrac{0{,}05}{50}=0{,}001. F_t=18{,}2\\ \text{kN} \sigma\approx 18{,}2\cdot 9{,}9911\approx 181{,}8\\ \text{MPa}.
  • SL=0{,}10\\ \text{mm}: \varepsilon=\dfrac{0{,}10}{50}=0{,}002. F_t=36{,}4\\ \text{kN} \sigma\approx 36{,}4\cdot 9{,}9911\approx 363{,}7\\ \text{MPa}.
  • SL=0{,}15\\ \text{mm}: \varepsilon=0{,}003. F_t=39{,}4\\ \text{kN} \sigma\approx 39{,}4\cdot 9{,}9911\approx 393{,}7\\ \text{MPa}.
  • SL=0{,}20\\ \text{mm}: \varepsilon=0{,}004. F_t=40{,}2\\ \text{kN} \sigma\approx 40{,}2\cdot 9{,}9911\approx 401{,}7\\ \text{MPa}.
  • SL=0{,}25\\ \text{mm}: \varepsilon=0{,}005. F_t=41{,}5\\ \text{kN} \sigma\approx 41{,}5\cdot 9{,}9911\approx 414{,}6\\ \text{MPa}.
(Se precisar, a tabela completa pode ser gerada, mas para o escoamento os pontos acima são suficientes: mostram a parte inicial linear e a região onde a curva cruza a reta de offset.)

Passo 5

Estimativa do módulo de elasticidade E pela inclinação inicial (região linear):
  • Usando os dois primeiros pontos não nulos (bons para estimar a linearidade): (\varepsilon_1,\sigma_1)=(0{,}001,181{,}8) e (\varepsilon_2,\sigma_2)=(0{,}002,363{,}7).
  • O módulo é a razão:
E \approx \frac{\Delta\sigma}{\Delta\varepsilon}=\frac{363{,}7-181{,}8}{0{,}002-0{,}001}=\frac{181{,}9}{0{,}001}=181{,}900\\ \text{MPa}.
(Arredondo razoavelmente: E\approx 1{,}82\times 10^5\\ \text{MPa}=181{,}9\\ \text{GPa}.)
Observação: o valor é coerente com um aço comum — isso dá confiança na estimativa.

Passo 6

Construir a reta de offset 0{,}2\%: equação e avaliação nos pontos
A equação da reta de offset é
\sigma_{\text{offset}}(\varepsilon)=E(\varepsilon-0{,}002).
Com E\approx 181{,}900\\ \text{MPa}, temos alguns valores:
  • Em \varepsilon=0{,}004: \sigma_{\text{offset}}=181{,}900(0{,}004-0{,}002)=181{,}900\cdot0{,}002\approx 363{,}8\\ \text{MPa}.
  • Em \varepsilon=0{,}005: \sigma_{\text{offset}}=181{,}900(0{,}005-0{,}002)=181{,}900\cdot0{,}003\approx 545{,}7\\ \text{MPa}.
Compare com a curva experimental:
  • Em \varepsilon=0{,}004 a curva experimental tem \sigma\approx 401{,}7\\ \text{MPa}, que é maior que o offset 363{,}8\\ \text{MPa}.
  • Em \varepsilon=0{,}005 a curva experimental tem \sigma\approx 414{,}6\\ \text{MPa}, que é menor que o offset 545{,}7\\ \text{MPa}.
Conclusão: a interseção entre a curva experimental \sigma(\varepsilon) e \sigma_{\text{offset}}(\varepsilon) está entre \varepsilon=0{,}004 e \varepsilon=0{,}005. Agora fazemos uma interpolação linear entre esses pontos para achar a interseção com precisão.

Passo 7

Interpolação linear para encontrar o ponto de interseção (cálculo passo a passo):
  • Tomamos os pontos experimentais usados para interpolar a curva entre \varepsilon_4=0{,}004 e \varepsilon_5=0{,}005:
    • \varepsilon_4=0{,}004,\\ \sigma_4=401{,}7\\ \text{MPa}.
    • \varepsilon_5=0{,}005,\\ \sigma_5=414{,}6\\ \text{MPa}.
  • Assumimos que, no pequeno intervalo, a curva experimental é aproximadamente linear:
\sigma(\varepsilon)=\sigma_4 + \frac{\sigma_5-\sigma_4}{\varepsilon_5-\varepsilon_4}(\varepsilon-\varepsilon_4).
  • A reta de offset é \sigma_{\text{offset}}(\varepsilon)=E(\varepsilon-0{,}002) com E=181{,}900\\ \text{MPa}.
Igualando as duas expressões para encontrar \varepsilon_y:
\sigma_4 + \frac{\sigma_5-\sigma_4}{0{,}001}(\varepsilon_y-0{,}004)=E(\varepsilon_y-0{,}002).
Substituindo números:
401{,}7 + \frac{414{,}6-401{,}7}{0{,}001}(\varepsilon_y-0{,}004)=181{,}900(\varepsilon_y-0{,}002).
Calcule \sigma_5-\sigma_4 = 12{,}9\\ \text{MPa}. Então a inclinação local é 12{,}9/0{,}001=12{,}900\\ \text{MPa} por unidade de deformação.
Agora:
401{,}7 + 12{,}900(\varepsilon_y-0{,}004)=181{,}900(\varepsilon_y-0{,}002).
Resolver passo a passo:
401{,}7 + 12{,}900\varepsilon_y - 12{,}900\cdot0{,}004 = 181{,}900\varepsilon_y - 181{,}900\cdot0{,}002.
401{,}7 + 12{,}900\varepsilon_y - 51{,}6 = 181{,}900\varepsilon_y - 363{,}8.
350{,}1 + 12{,}900\varepsilon_y = 181{,}900\varepsilon_y - 363{,}8.
Juntando termos em \varepsilon_y:
350{,}1 + 363{,}8 = 181{,}900\varepsilon_y - 12{,}900\varepsilon_y.
713{,}9 = 169{,}000\varepsilon_y.
\varepsilon_y = \frac{713{,}9}{169{,}000}\approx 0{,}004224\\ (\text{adimensional}) \approx 0{,}4224\%.

Passo 8

Calcular a tensão de escoamento \sigma_e correspondente (usar a reta offset ou a curva interpolada — deve dar o mesmo valor):
Usando a reta de offset:
\sigma_e = E(\varepsilon_y-0{,}002)=181{,}900\cdot(0{,}004224-0{,}002).
\sigma_e = 181{,}900\cdot 0{,}002224\approx 404{,}7\\ \text{MPa}.
Usando a interpolação da curva experimental daria valor muito próximo (checagem rápida: \sigma\approx 401{,}7 + 12{,}9\cdot(0{,}004224-0{,}004)\approx 404{,}6\\ \text{MPa}). Ambos concordam numericamente.

Passo 9

Interpretação e arredondamento final:
  • Valor obtido: \sigma_e\approx 404{,}6\\ \text{MPa}.
  • Arredondando de forma prática para a casa apropriada (uma casa decimal ou inteiro, dependendo do padrão de engenharia), podemos reportar \sigma_e\approx 405\\ \text{MPa} ou mais precisamente \,404{,}7\\ \text{MPa}.

Resposta

\sigma_{e} \approx 404{,}7\\ \text{MPa}

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