Correção de fator de potência - dimensionamento do banco (shunt)
Uma planta trifásica a 380 \mathrm{~V}, 60 \mathrm{~Hz}, consome P=250 \mathrm{~kW} com fator de potência inicial \mathrm{fp}=0,76 (atrasado). Pretende-se elevar o fator de potência para \mathrm{fp}=0,95.
(a) Calcule a potência reativa do banco Q_{c} (em kVAr) necessária.
(b) Dimensione um banco trifásico em \Delta de capacitores para esse Q_{c}. Informe a capacitância por fase (em \mu \mathrm{F} ) e a tensão nominal RMS adequada dos capacitores.
(c) Verifique a corrente do banco em regime e comente o risco de supercompensação quando a carga cair para 50 \% (assuma mesmo fp inicial).

Passo 1

Lista do que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Dados numéricos: P = 250\\ \text{kW},\qquad V_{LL}=380\\ \text{V (tensão de linha)},\qquad f=60\\ \text{Hz}ãfator de potência inicial \mathrm{fp}_1 = 0{,}76 (atrasado) e desejado \mathrm{fp}_2 = 0{,}95.
  • Perguntas:
    (a) Calcular a potência reativa do banco Q_c (em kVAr) necessária para corrigir de \mathrm{fp}_1 para \mathrm{fp}_2.
    (b) Dimensionar um banco trifásico em conexão \Delta: encontrar a capacitância por fase (em \muF) e indicar a tensão nominal RMS adequada dos capacitores.
    (c) Verificar a corrente do banco em regime (valores numéricos) e comentar o risco de supercompensação quando a carga cair para 50\% (assumindo o mesmo \mathrm{fp}_1 no novo ponto de carga).

Passo 2

Conceitos fundamentais (mini-aula). Relações entre potências ativa P, reativa Q, aparente S e fator de potência \mathrm{fp}:
  • Definição de fator de potência: \mathrm{fp}=\cos\varphi=\frac{P}{S},onde \varphi é o ângulo de fase entre tensão e corrente.
  • Relação entre P e Q: \tan\varphi=\frac{Q}{P}\quad\Longrightarrow\quad Q = P\tan\varphi.Então, se conhecemos \mathrm{fp}=\cos\varphi, podemos obter \tan\varphi por: \tan\varphi=\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\frac{\sqrt{1-\cos^2\varphi}}{\cos\varphi}.
  • Para corrigir o fator de potência de \mathrm{fp}_1 para \mathrm{fp}_2, precisamos acrescentar capacitores que forneçam potência reativa capacitiva de magnitude: Q_c = Q_{1}-Q_{2},onde Q_{1}=P\tan\varphi_1 é a reativa inicial (indutiva) e Q_{2}=P\tan\varphi_2 é a reativa alvo (indutiva residual). O sinal positivo de Q_c indica potência reativa fornecida pelos capacitores (capacitiva), em módulo.

Passo 3

Calcular \tan\varphi_1 e \tan\varphi_2 a partir dos fatores de potência dados:
  • Para \mathrm{fp}_1=0{,}76: \cos\varphi_1=0{,}76\quad\Rightarrow\quad \sin\varphi_1=\sqrt{1-0{,}76^2}=\sqrt{1-0{,}5776}=\sqrt{0{,}4224}=0{,}6499.
\tan\varphi_1=\frac{\sin\varphi_1}{\cos\varphi_1}=\frac{0{,}6499}{0{,}76}=0{,}8551.
  • Para \mathrm{fp}_2=0{,}95: \cos\varphi_2=0{,}95\quad\Rightarrow\quad \sin\varphi_2=\sqrt{1-0{,}95^2}=\sqrt{1-0{,}9025}=\sqrt{0{,}0975}=0{,}3122.
\tan\varphi_2=\frac{0{,}3122}{0{,}95}=0{,}3286.

Passo 4

Calcular as potências reativas inicial e final (em kVAr) usando Q=P\tan\varphi:
  • Potência reativa inicial (indutiva): Q_1 = P\tan\varphi_1 = 250\\ \text{kW}\times 0{,}8551 = 213{,}78\\ \text{kVAr}.
  • Potência reativa desejada (residual, ainda indutiva): Q_2 = P\tan\varphi_2 = 250\\ \text{kW}\times 0{,}3286 = 82{,}15\\ \text{kVAr}.
  • Potência reativa do banco (capacitiva) necessária: Q_c = Q_1 - Q_2 = 213{,}78 - 82{,}15 = 131{,}63\\ \text{kVAr}.
Interpretação: o banco deve fornecer 131{,}63\\ \text{kVAr} de reativa capacitiva para levar o sistema de \mathrm{fp}=0{,}76 para \mathrm{fp}=0{,}95.

Passo 5

Mini-aula sobre dimensionamento de capacitores em conexão \Delta e fórmula para capacitância por fase.
  • Para um capacitor ideal em uma fase do banco, a corrente capacitiva em regime senoidal é I_C=\omega C V (com V tensão RMS sobre o capacitor e \omega=2\pi f).
  • A potência reativa (módulo) fornecida por esse capacitor é Q_{\text{fase}} = V\cdot I_C = V\cdot(\omega C V) = V^2\omega C.
  • Para um banco trifásico em \Delta, cada capacitor fica entre duas fases, portanto vê a tensão de linha V_{LL}. O total trifásico é a soma das três fases: Q_c = 3\,Q_{\text{fase}} = 3\,V_{LL}^2\,\omega\,C_{\text{fase}}.Daí isolamos a capacitância por fase: C_{\text{fase}}=\frac{Q_c}{3\,V_{LL}^2\,\omega}.

Passo 6

Calcular numericamente a capacitância por fase.
  • Valores numéricos: Q_c = 131{,}63\\ \text{kVAr}=131{,}630\\ \text{VAr},\qquad V_{LL}=380\\ \text{V},\qquad \omega=2\pi f=2\pi\cdot60\approx 376{,}9911\\ \text{rad/s}.
  • Aplicando a fórmula: C_{\text{fase}}=\frac{131\,630}{3\cdot(380)^2\cdot 376{,}9911}.Primeiro calcule o denominador: 3\cdot 380^2\cdot 376{,}9911 \approx 163\,312\,771.Então C_{\text{fase}}\approx\frac{131\,630}{163\,312\,771}\approx 8{,}064\times 10^{-4}\\ \text{F}.Em microfarads: C_{\text{fase}}\approx 806{,}4\\ \mu\text{F}.
Arredondamento prático: C_{\text{fase}}\approx 806\\ \mu\text{F} por capacitor (cada braço do \Delta).

Passo 7

Tensão nominal RMS adequada dos capacitores (explicação prática).
  • Em conexão \Delta cada capacitor vê a tensão de linha V_{LL}=380\\ \text{V RMS}. Portanto a tensão mínima que o capacitor deve suportar é 380\\ \text{V RMS}.
  • Na prática recomenda-se escolher uma tensão nominal comercial um pouco maior para dar margem contra sobretensões e harmônicos; duas escolhas comuns são 440\\ \text{V RMS} ou 480\\ \text{V RMS}. Uma escolha típica e adequada para sistemas 380\\ \text{V} é capacitores com tensão nominal 440\\ \text{V RMS}.
  • Conclusão: tensão nominal recomendada dos capacitores: 440\\ \text{V RMS} (mínimo 380 V).

Passo 8

Calcular a corrente do banco em regime (valores por fase e de linha) e checar via potência reativa.
  • Corrente por fase do capacitor (corrente no elemento do delta): I_{\text{fase}}=\omega C_{\text{fase}} V_{LL}.Usando C_{\text{fase}}=8{,}064\times10^{-4}\\ \text{F}: I_{\text{fase}}\approx 376{,}9911\cdot 8{,}064\times10^{-4}\cdot 380 \approx 115{,}4\\ \text{A}.
  • Em conexão \Delta, a corrente de linha é relacionada à corrente de fase por: I_{\text{linha}}=\sqrt{3}\,I_{\text{fase}}.Então I_{\text{linha}}\approx 1{,}732\cdot 115{,}4 \approx 200{,}1\\ \text{A}.
  • Verificação direta pela potência reativa total: I_{\text{linha}}=\frac{Q_c}{\sqrt{3}\,V_{LL}}=\frac{131\,630}{1{,}732\cdot 380}\approx 200{,}1\\ \text{A},consistente com o cálculo acima.

Passo 9

Análise de supercompensação quando a carga cair para 50\% (assumindo mesmo \mathrm{fp}_1=0{,}76).
  • Nova potência ativa da carga: P' = 0{,}5\cdot 250 = 125\\ \text{kW}.
  • Reativa indutiva da carga neste ponto (mantendo \mathrm{fp}_1): Q'_1 = P'\tan\varphi_1 = 125\cdot 0{,}8551 = 106{,}89\\ \text{kVAr}.
  • O banco continua fornecendo Q_c=131{,}63\\ \text{kVAr}. Portanto a reativa líquida do sistema será: Q_{\text{líquida}} = Q'_1 - Q_c = 106{,}89 - 131{,}63 = -24{,}74\\ \text{kVAr}.íO sinal negativo indica excesso de reativa capacitiva (sistema passa a ser “leading”, ou seja, corrente adiantada).
  • Calcular o novo fator de potência resultante: S'=\sqrt{P'^2 + Q_{\text{líquida}}^2}=\sqrt{125^2 + (-24{,}74)^2}\\ \text{kVA}\approx 127{,}4\\ \text{kVA}.í
\mathrm{fp}'=\frac{P'}{S'}=\frac{125}{127{,}4}\approx 0{,}981\\ \text{(leading)}.
  • Interpretação e riscos:
    • A supercompensação é relativamente pequena: o sistema ficaria com fator de potência \approx 0{,}981 leading, não um excesso dramático.
    • Mesmo assim, operação com fator leading pode causar problemas práticos: possíveis sobretensões (principalmente com cargas indutivas sensíveis), acionamento incorreto de proteção, e risco de ressonância com reatâncias da rede (harmônicos). Por isso, é recomendável usar um banco com etapas com chaveamento (capacitores com chaves seccionadoras / controlador de fator de potência) para desconectar etapas quando a carga cai, evitando overcompensation.
    • Além disso, os dispositivos de chaveamento devem suportar a corrente do banco calculada ( \approx 200\\ \text{A} de linha).

Resposta

(a) Q_c \approx 131{,}63\\ \text{kVAr}.
(b) Capacitância por fase C_{\text{fase}}\approx 806\\ \mu\text{F}; tensão nominal por capacitor (cada elemento do \Delta): V_{\text{nom}}\ge 380\\ \text{V RMS}, recomendada 440\\ \text{V RMS}.
(c) Corrente do banco: I_{\text{fase}}\approx 115{,}4\\ \text{A} (por capacitor), I_{\text{linha}}\approx 200{,}1\\ \text{A}. Se a carga cair para 50\% (mantendo \mathrm{fp}=0{,}76), haverá supercompensação de \approx 24{,}74\\ \text{kVAr} (capacitiva) e o sistema ficará com \mathrm{fp}\approx 0{,}981 leading — não muito grande, mas suficiente para recomendar banco seccionável/controle para evitar problemas de sobretensão e ressonância.

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