Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^4 - x^2 e $y = 0.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas y = x^4 - x^2 e y = 0.\n
Informações dadas:\n
  • A curva é y = x^4 - x^2.\n
  • A outra curva é a reta y = 0 (eixo x).\n
  • Precisamos encontrar a área da região fechada por essas duas curvas (ou seja, a área entre a função e o eixo x onde elas se encontram).

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção entre as curvas resolvendo \;x^4 - x^2 = 0\;.\n
Fatorando:
x^4 - x^2 = x^2(x^2 - 1) = 0.
Portanto as raízes são \;x=0,\;x=1,\;x=-1\;. Estes são os limites horizontais da região.

Passo 3

Determinar onde a função está acima ou abaixo do eixo x.\n
Escolho um ponto entre 0 e 1, por exemplo x=\tfrac{1}{2}. Calculando:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^4 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = \tfrac{1}{16} - \tfrac{1}{4} = -\tfrac{3}{16} < 0.
Logo, entre -1 e 1 (exceto nos zeros) a função é negativa; ela fica abaixo do eixo x. Assim a região limitada é a “parte negativa” de y entre x=-1 e x=1.

Passo 4

Montar a integral que dá a área.\n
A área entre uma curva y=f(x) e o eixo x quando f(x)\le 0 é \int (0 - f(x))\,dx=\int -f(x)\,dx. Aqui a função é par (mesma para x e -x), pois
f(-x)=(-x)^4-(-x)^2 = x^4 - x^2 = f(x).
Por simetria podemos calcular a área em [0,1] e dobrar. Assim
\text{Área} = 2\int_{0}^{1} \bigl(0 - (x^4 - x^2)\bigr)\,dx = 2\int_{0}^{1} (x^2 - x^4)\,dx.Á

Passo 5

Calcular a integral: lembrar a regra básica \displaystyle \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, válida para qualquer n\neq -1.\n
Aplicando para x^2 e x^4:
\int (x^2 - x^4)\,dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} + C.

Passo 6

Avaliar a integral definida de 0 a 1 e multiplicar por 2.\n
Primeiro a integral em [0,1]:
\left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_{0}^{1} = \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) - 0 = \frac{1}{3} - \frac{1}{5}.
Calcular \frac{1}{3}-\frac{1}{5} = \frac{5-3}{15} = \frac{2}{15}.\n
Multiplicando por 2:
\text{Área} = 2\cdot\frac{2}{15} = \frac{4}{15}.Á

Resposta

\displaystyle \frac{4}{15}

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