Determine a área da região limitada pelas curvas
e $y = 0.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas
e
.\n
Informações dadas:\n
Informações dadas:\n
- A curva é
.\n - A outra curva é a reta
(eixo ).\n - Precisamos encontrar a área da região fechada por essas duas curvas (ou seja, a área entre a função e o eixo
onde elas se encontram).
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção entre as curvas resolvendo
.\n
Fatorando:
Fatorando:
Portanto as raízes são
. Estes são os limites horizontais da região.
Passo 3
Determinar onde a função está acima ou abaixo do eixo
.\n
Escolho um ponto entre e
, por exemplo
. Calculando:
Escolho um ponto entre
Logo, entre
e
(exceto nos zeros) a função é negativa; ela fica abaixo do eixo
. Assim a região limitada é a “parte negativa” de
entre
e
.
Passo 4
Montar a integral que dá a área.\n
A área entre uma curva e o eixo
quando
é
. Aqui a função é par (mesma para
e
), pois
A área entre uma curva
Por simetria podemos calcular a área em
e dobrar. Assim
Passo 5
Calcular a integral: lembrar a regra básica
, válida para qualquer
.\n
Aplicando para e
:
Aplicando para
Passo 6
Avaliar a integral definida de
a
e multiplicar por
.\n
Primeiro a integral em :
Primeiro a integral em
Calcular
.\n
Multiplicando por :
Multiplicando por