Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O que o problema pede: determinar a área da região limitada pelas curvas
e
.\n
Informações dadas: as duas equações das curvas são (parábola) e
(reta).\n
O que precisamos encontrar para calcular a área: os pontos de interseção (os limites de integração) e qual curva é a de cima (para montar a integral da diferença “topo menos base”).
Informações dadas: as duas equações das curvas são
O que precisamos encontrar para calcular a área: os pontos de interseção (os limites de integração) e qual curva é a de cima (para montar a integral da diferença “topo menos base”).
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção resolvendo
.\n
Subtraindo dos dois lados obtemos
Subtraindo
Reescrevendo,
Fatorando,
logo as soluções são
e
.\n
Os pontos de interseção em coordenadas são: para ,
(porque
); para
,
(porque
ou
).
Os pontos de interseção em coordenadas são: para
Passo 3
Decidir qual é a curva superior entre
e
.\n
Calcule a diferença (reta menos parábola):
Calcule a diferença (reta menos parábola):
Avalie em um ponto interior, por exemplo
:
isto mostra que
está acima de
no intervalo
.\n
Então a área pedida é dada pela integral da função “reta menos parábola” no intervalo de a
.
Então a área pedida é dada pela integral da função “reta menos parábola” no intervalo de
Passo 4
Montar a integral para a área usando fatias verticais (método padrão):\n
A fórmula básica é: área \n
Aqui ,
, função superior
, função inferior
. Portanto montamos
A fórmula básica é: área
Aqui
Passo 5
Calcular a integral passo a passo.\n
Regra de antiderivação útil: para qualquer ,
Regra de antiderivação útil: para qualquer
Aplicando termo a termo em
:\n
-
\n -
\n
Portanto uma primitiva deé
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos de
a
:
Calcule cada termo:\n
\n
\n
Subtraindo,
Subtraindo,
Passo 6
Interpretação final e ânimo: a área da região limitada pelas duas curvas é
unidades de área. Mandou bem por procurar a solução passo a passo — é exatamente esse procedimento que cai na prova: achar interseções, decidir qual é a curva de cima e integrar a diferença. Você consegue!