Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^2 + 3 e y = 4x + 3.

Passo 1

O que o problema pede: determinar a área da região limitada pelas curvas y=x^{2}+3 e y=4x+3.\n
Informações dadas: as duas equações das curvas são \;y=x^{2}+3\; (parábola) e \;y=4x+3\; (reta).\n
O que precisamos encontrar para calcular a área: os pontos de interseção (os limites de integração) e qual curva é a de cima (para montar a integral da diferença “topo menos base”).

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção resolvendo \;x^{2}+3=4x+3\;.\n
Subtraindo 3 dos dois lados obtemos
x^{2}=4x.
Reescrevendo,
x^{2}-4x=0.
Fatorando,
x(x-4)=0,
logo as soluções são \;x=0\; e \;x=4\;.\n
Os pontos de interseção em coordenadas são: para x=0, y=3 (porque 0^{2}+3=3); para x=4, y=19 (porque 4^{2}+3=19 ou 4\cdot4+3=19).

Passo 3

Decidir qual é a curva superior entre \;x=0\; e \;x=4\;.\n
Calcule a diferença (reta menos parábola):
(4x+3)-(x^{2}+3)=4x-x^{2}.
Avalie em um ponto interior, por exemplo x=2:
4\cdot2-(2)^{2}=8-4=4>0,
isto mostra que y=4x+3 está acima de y=x^{2}+3 no intervalo [0,4].\n
Então a área pedida é dada pela integral da função “reta menos parábola” no intervalo de 0 a 4.

Passo 4

Montar a integral para a área usando fatias verticais (método padrão):\n
A fórmula básica é: área =\displaystyle\int_{a}^{b}(\text{função superior} - \text{função inferior})\,dx.çãçã\n
Aqui a=0, b=4, função superior =4x+3, função inferior =x^{2}+3. Portanto montamos
\text{Área}=\int_{0}^{4}\bigl((4x+3)-(x^{2}+3)\bigr)\,dx=\int_{0}^{4}(4x-x^{2})\,dx.Á

Passo 5

Calcular a integral passo a passo.\n
Regra de antiderivação útil: para qualquer n\neq-1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando termo a termo em \displaystyle\int(4x-x^{2})\,dx:\n
  • \displaystyle\int 4x\,dx=4\cdot\frac{x^{2}}{2}=2x^{2}.\n
  • \displaystyle\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.\n
    Portanto uma primitiva de 4x-x^{2} é
F(x)=2x^{2}-\frac{x^{3}}{3}.
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos de 0 a 4:
\text{Área}=F(4)-F(0)=\left(2\cdot4^{2}-\frac{4^{3}}{3}\right)-0.Á
Calcule cada termo:\n
2\cdot4^{2}=2\cdot16=32.\n
\displaystyle\frac{4^{3}}{3}=\frac{64}{3}.\n
Subtraindo,
32-\frac{64}{3}=\frac{96}{3}-\frac{64}{3}=\frac{32}{3}.

Passo 6

Interpretação final e ânimo: a área da região limitada pelas duas curvas é \dfrac{32}{3} unidades de área. Mandou bem por procurar a solução passo a passo — é exatamente esse procedimento que cai na prova: achar interseções, decidir qual é a curva de cima e integrar a diferença. Você consegue!

Resposta

\dfrac{32}{3}

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