Um corredor estipulou um plano de treinamento diário, correndo 3 quilômetros no primeiro dia e aumentando 500 metros por dia, a partir do segundo. Contudo, seu médico cardiologista autorizou essa atividade até que o corredor atingisse, no máximo, 10 km de corrida em um mesmo dia de treino. Se o atleta cumprir a recomendação médica e praticar o treinamento estipulado corretamente em dias consecutivos, pode-se afirmar que esse planejamento de treino só poderá ser executado em, exatamente,
Passo 1
Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corredor que começou a treinar correndo 3 quilômetros no primeiro dia e, a partir do segundo dia, aumenta a distância em 500 metros (ou seja, 0,5 km) a cada dia. Porém, o médico dele disse que ele não pode correr mais do que 10 km em um único dia de treino. Nosso objetivo é descobrir exatamente por quantos dias ele pode seguir esse plano de treinamento sem ultrapassar o limite de 10 km. Para resolver isso, vamos usar conceitos de progressão aritmética, onde cada dia a distância aumenta de forma constante.
Passo 2
Primeiro, vamos definir qual é a distância que o corredor vai percorrer em cada dia. No primeiro dia, ele corre 3 km. A partir do segundo dia, ele aumenta 0,5 km a cada dia. Então, podemos representar a distância no n-ésimo dia com a fórmula da progressão aritmética:
Onde:
- $ D(n) $ é a distância no n-ésimo dia.
- $ D_1 $ é a distância no primeiro dia (3 km).
- $ r $ é a razão da progressão (0,5 km).
Passo 3
Queremos encontrar o maior número de dias $ n $ em que a distância percorrida não excede 10 km. Portanto, estabelecemos a inequação:
Agora, vamos resolver essa inequação para encontrar o valor de $ n $.
Passo 4
Primeiro, simplificamos a inequação:
Subtraímos 3 de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por 0.5 para isolar $ n - 1 $:
Finalmente, somamos 1 em ambos os lados para encontrar $ n $:
Passo 5
Isso significa que o corredor pode seguir o plano de treinamento por no máximo 15 dias sem ultrapassar os 10 km permitidos pelo médico. No 15º dia, a distância será exatamente 10 km, e no dia seguinte, ele tentaria correr 10,5 km, o que já não é permitido.
Resposta
O planejamento de treino pode ser executado por exatamente 15 dias.