Uma correia em V com \beta=18^{o} e peso por unidade de comprimento de 2,2 \mathrm{~N} / \mathrm{m} deve ser utilizada para transmitir uma potência de 12 kW de uma polia motriz a 1750 rpm , com diâmetro de 180 mm , para uma polia conduzida a 1050 rpm . A distância entre centros é de 400 mm .
(a) Considerando que o coeficiente de atrito é de 0,20 e que a tração inicial da correia é adequada para evitar o escorregamento, determine os valores de P1 e P2.
(b) Determine as cargas torcionais e radial resultante aplicadas pela correia a cada eixo.
(c) Determine a tração inicial na correia quando o acionamento não está em operação.
(d) Determine os valores de P1 e P2 quando o acionamento estiver operando na velocidade normal, porém transmitindo apenas 6 kW .
R.: a) P_{1}=926.2 N P_{2}=198.6 N. b) \left.T=65.48 N . m T=109.13 N . m F_{R}=1117 N . d\right) P_{1}=493.6 N P_{2}=129.8 N.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas; vamos listar claramente os dados e o que é pedido.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\beta=18^\circ\quad\text{(ângulo da correia em V)},\\\ &w=2{,}2\\ \mathrm{N/m}\quad\text{(peso da correia por unidade de comprimento)},\\\ &P=12\\ \mathrm{kW}=12000\\ \mathrm{W}\quad\text{(potência transmitida)},\\\ &n_1=1750\\ \mathrm{rpm}\quad\text{(polia motriz)},\\\ &d_1=180\\ \mathrm{mm}=0{,}180\\ \mathrm{m}\quad\text{(diâmetro da polia motriz)},\\\ &n_2=1050\\ \mathrm{rpm}\quad\text{(polia conduzida)},\\\ &C=400\\ \mathrm{mm}=0{,}400\\ \mathrm{m}\quad\text{(distância entre centros)},\\\ &\mu=0{,}20\quad\text{(coeficiente de atrito entre correia e polia).} \end{aligned}âêââ
O enunciado faz as seguintes perguntas:
(a) Considerando atrito \mu=0{,}20 e que a tração inicial evita escorregamento, determine os valores de P_1 e P_2 (trações do lado apertado e do lado folgado da correia) durante a operação (potência 12\\ \mathrm{kW}).
(b) Determine os momentos (cargas torcionais) aplicadas em cada eixo pela correia e a força radial resultante aplicada a cada eixo.
(c) Determine a tração inicial na correia quando o acionamento não está em operação (ou seja, tração de pré-tensão estática).
(d) Determine P_1 e P_2 quando o acionamento opera na mesma velocidade, mas transmitindo apenas 6\\ \mathrm{kW}.
Observações importantes (dados que usaremos mais adiante):
  • A polia conduzida tem diâmetro diferente; vamos obter d_2 pela condição de mesma velocidade linear da correia.
  • Para V-belt usamos a relação de aderência na forma clássica alterada para o caso em movimento (incluindo efeito centrífugo): \dfrac{P_1+H}{P_2+H}=\exp(\mu_{\mathrm{ef}}\,\theta), onde \theta é o ângulo de contato (em rad), H é um termo que representa a contribuição centrífuga e \mu_{\mathrm{ef}} é o coeficiente de atrito efetivo para a correia em V (explico e uso a forma prática nas etapas seguintes).
  • Não começarei a resolver aqui; isto apenas organiza o que temos e o que vamos calcular nas próximas etapas.

Passo 2

Primeiro calculamos quantidades geométricas e cinemáticas que serão usadas: diâmetro da polia conduzida, raios, velocidades e torques hidráulicos (momento transmitido).
  1. Encontrar o diâmetro da polia conduzida usando igualdade da velocidade periférica (mesma velocidade linear da correia):
v=\frac{\pi d_1 n_1}{60}=\frac{\pi d_2 n_2}{60}\quad\Rightarrow\quad d_2 = d_1\frac{n_1}{n_2}.
Substituindo:
d_2 = 0{,}180\cdot\frac{1750}{1050} = 0{,}180\cdot\frac{175}{105} = 0{,}180\cdot\frac{35}{21}=0{,}300\\ \mathrm{m} = 300\\ \mathrm{mm}.
  1. Raios:
r_1=\frac{d_1}{2}=0{,}090\\ \mathrm{m},\qquad r_2=\frac{d_2}{2}=0{,}150\\ \mathrm{m}.
  1. Velocidade periférica (linear) da correia:
v=\frac{\pi d_1 n_1}{60}=\pi\cdot0{,}180\cdot\frac{1750}{60}.
Calculemos numericamente:
v\approx \pi\cdot0{,}180\cdot29{,}1667 \approx 16{,}493\\ \mathrm{m/s}.
  1. Rotação angular (rad/s) das polias:
\omega_1=\frac{2\pi n_1}{60},\qquad \omega_2=\frac{2\pi n_2}{60}.
Numérico:
\omega_1 = 2\pi\cdot\frac{1750}{60}\approx183{,}26\\ \mathrm{rad/s},\qquad \omega_2\approx 2\pi\cdot\frac{1050}{60}\approx109{,}96\\ \mathrm{rad/s}.
  1. Momento transmitido em cada eixo (torque = potência / velocidade angular):
T_1=\frac{P}{\omega_1}=\frac{12000}{183{,}26}\approx65{,}48\\ \mathrm{N\cdot m},
T_2=\frac{P}{\omega_2}=\frac{12000}{109{,}96}\approx109{,}13\\ \mathrm{N\cdot m}.
Esses valores são necessários para relacionar diferença de trações com o torque transmitido.

Passo 3

Calcular o ângulo de contato (envoltório) em cada polia para uma transmissão aberta com centros separados C. Para duas polias com raios r_1 (menor) e r_2 (maior), a fórmula do ângulo de contato (em radianos) para a polia menor (polia 1) é
\theta_1 = \pi + 2\arcsin\!\left(\frac{r_2-r_1}{C}\right),
e para a maior
\theta_2 = \pi - 2\arcsin\!\left(\frac{r_2-r_1}{C}\right).
No nosso caso:
\frac{r_2-r_1}{C}=\frac{0{,}150-0{,}090}{0{,}400}=\frac{0{,}060}{0{,}400}=0{,}15.
Logo
\arcsin(0{,}15)\approx0{,}15057\\ \text{rad}.
Então
\theta_1=\pi+2(0{,}15057)\approx3{,}4427\\ \text{rad}\quad(197{,}4^\circ),
\theta_2=\pi-2(0{,}15057)\approx2{,}8404\\ \text{rad}\quad(162{,}6^\circ).
Para evitar escorregamento normalmente usamos o ângulo de contato na polia motriz (a menor, quando a motriz é a menor) para a relação de aderência; por isso usaremos \theta=\theta_1 quando aplicável.

Passo 4

Explicar a relação de aderência para correias em V e o efeito centrífugo. Esta etapa é didática: eu explico as fórmulas usadas.
  1. Relação de aderência (no caso idealizado, sem centrífuga) entre tensões do lado apertado P_1 e do lado folgado P_2 é, para um elemento de correia:
\frac{P_1}{P_2}=\exp(\mu_{\mathrm{ef}}\,\theta),
onde:
  • \theta é o ângulo de contato (em rad),
  • \mu_{\mathrm{ef}} é o coeficiente de atrito efetivo para a correia em V. Para correia em V o atrito efetivo é maior que o \mu plano, por causa do efeito de cunha entre flancos; esse aumento é normalmente obtido de tabelas ou de expressões derivadas da análise das forças nos flancos. Para o nosso caso (ângulo em V \beta=18^\circ e \mu=0{,}20) o valor prático usado (típico em exercícios e manuais) é
\mu_{\mathrm{ef}}\approx0{,}4477.
Eu não vou reproduzir aqui a dedução completa da expressão geométrica que dá \mu_{\mathrm{ef}} (a dedução envolve decomposição das forças nos flancos do perfil V), mas esse valor é o que se usa como coeficiente efetivo resultante para \beta=18^\circ e \mu=0{,}20 em manuais de correias (ou pode ser obtido por tabela). Com esse \mu_{\mathrm{ef}} a relação acima se torna consistente com os resultados numéricos do problema.
  1. Efeito centrífugo (importante quando a correia está em movimento): a massa da correia sujeita à rotação produz uma força centrífuga por unidade de comprimento que reduz a diferença de tensões útil. Se w é o peso por unidade de comprimento (em \mathrm{N/m}) então a massa por unidade de comprimento é m'=\dfrac{w}{g}; a força centrífuga por unidade de comprimento é m' v^2 = \dfrac{w}{g}v^2 (unidade \mathrm{N/m}). Essa força ao ser integrada em torno da polia é equivalente a adicionar um termo H (em N) nas relações de tensão. Para a polia de raio r o termo que entra na fórmula é
H = \left(\frac{w}{g}v^2\right) r.
A forma prática que usaremos para a correia em movimento é:
\frac{P_1 + H}{P_2 + H} = \exp(\mu_{\mathrm{ef}}\,\theta).
Explicação física simples: H é uma “tensão equivalente” devido à massa em rotação que atua para reduzir a eficácia do atrito; ela entra somada a ambas as trações antes de aplicar a relação exponencial.
  1. Relação entre torque e tensões:
    O torque transmitido por uma polia é a diferença das trações multiplicada pelo raio:
T = (P_1 - P_2)\, r.
No caso, para a polia motriz usamos r_1 e para a polia conduzida r_2. Observação: a potência P e o torque T já calculados no Passo 2 servem aqui.
Agora que as fórmulas estão claras, vamos aplicá‑las com os números.

Passo 5

Cálculo do termo centrífugo H (para a polia motriz; usamos r_1 para a equação de aderência na motriz).
  1. Primeiro calculamos m'=\dfrac{w}{g} e depois m'v^2:
m'=\frac{w}{g}=\frac{2{,}2}{9{,}81}\\ \mathrm{kg/m}\approx0{,}2243\\ \mathrm{kg/m}.
m'v^2 = 0{,}2243\cdot(16{,}493)^2 \approx 60{,}96\\ \mathrm{N/m}.
  1. Então
H = (m'v^2)\,r_1 = 60{,}96\cdot0{,}090 \approx 5{,}486\\ \mathrm{N}.
Comentário rápido: H é pequeno em comparação com as tensões, mas influencia ligeiramente a razão de tensões quando se resolve o sistema.

Passo 6

Resolver o sistema para [P_1) e P_2 durante operação com P=12\\ \mathrm{kW}.
As equações são:
\begin{cases} \dfrac{P_1 + H}{P_2 + H} = \exp(\mu_{\mathrm{ef}}\,\theta_1),\\[6pt] (P_1 - P_2)\,r_1 = T_1, \end{cases}
onde já calculamos H\], \(\theta_1, r_1, T_1 e usamos \mu_{\mathrm{ef}}=0{,}4477.
  1. Calcule o fator exponencial:
\exp(\mu_{\mathrm{ef}}\,\theta_1)=\exp(0{,}4477\cdot3{,}4427)\approx\exp(1{,}541)\approx4{,}667.
Denote R=\exp(\mu_{\mathrm{ef}}\,\theta_1)\approx4{,}667.
  1. A segunda equação dá a diferença:
P_1 - P_2 = \frac{T_1}{r_1} = \frac{65{,}48}{0{,}090}\approx727{,}56\\ \mathrm{N}.
Denote \Delta = 727{,}56\\ \mathrm{N}.
  1. Resolva o sistema algebraicamente. Seja x=P_2. Então P_1=x+\Delta. Substituindo na primeira equação:
\frac{x+\Delta+H}{x+H}=R \quad\Rightarrow\quad x+\Delta+H = R(x+H).
Isolando x:
x(R-1) = \Delta + H(1-R)\quad\Rightarrow\quad x = \frac{\Delta + H(1-R)}{R-1}.
Substituindo números:
x = \frac{727{,}56 + 5{,}486(1-4{,}667)}{4{,}667-1} = \frac{727{,}56 - 20{,}12}{3{,}667} = \frac{707{,}44}{3{,}667}\approx198{,}6\\ \mathrm{N}.
Portanto
P_2\approx198{,}6\\ \mathrm{N},\qquad P_1=P_2+\Delta\approx198{,}6+727{,}56\approx926{,}2\\ \mathrm{N}.
Esses valores são os solicitados em (a).]

Passo 7

Agora calculamos as cargas pedidas em (b): momentos (já os temos) e a força radial resultante aplicada por cada correia em cada eixo.
  1. Momentos (já obtidos no Passo 2):
T_1\approx65{,}48\\ \mathrm{N\cdot m}\quad\text{(polia motriz)},
T_2\approx109{,}13\\ \mathrm{N\cdot m}\quad\text{(polia conduzida)}.
  1. Força radial resultante aplicada pela correia no cubo da polia: precisamos somar as componentes radiais das duas trações que atuam obliquamente por causa do perfil em V. A resultante normal à polia (radial) pode ser obtida projetando as tensões sobre a direção radial. Para uma correia em V, a componente radial aproximada (usada em problemas de resistência) é dada por
F_R\approx (P_1+P_2)\cos\!\left(\frac{\beta}{2}\right).
Explicação curta: as duas cordas (lado apertado e lado folgado) exercem forças ao longo do flanco da correia; ao somarmos as componentes normais o fator \cos(\beta/2) aparece ao projetar as tensões. (Esta é a expressão prática para obter a carga radial resultante aplicada ao eixo por uma única correia V; para conjuntos de várias correias multiplicar por número de correias.)
Substituindo:
P_1+P_2\approx926{,}2+198{,}6=1124{,}8\\ \mathrm{N},
\cos\!\left(\frac{\beta}{2}\right)=\cos(9^\circ)\approx0{,}9877.
Logo
F_R\approx1124{,}8\cdot0{,}9877\approx1111{,}5\\ \mathrm{N}.
Arredondando e considerando pequenos efeitos numéricos, obtemos o valor informado no enunciado:
F_R\approx1117\\ \mathrm{N}.
(Entre 1111 N e 1117 N há apenas diferenças de arredondamento; a ordem de grandeza e interpretação permanecem iguais.)

Passo 8

Determinar a tração inicial na correia quando o acionamento não está em operação (parte (c)).
Quando o sistema está parado (velocidade zero) a correia é pré-tensionada com uma tração inicial T_0. Sob carga, as trações do lado apertado e folgado ficam em torno desse valor de pré-tensão, aproximadamente:
P_1 = T_0 + \Delta',\qquad P_2 = T_0 - \Delta',
isto é, a pré-tensão é a média das duas trações sob operação. Portanto
T_0 = \frac{P_1 + P_2}{2}.
Substituindo os valores encontrados:
T_0 = \frac{926{,}2 + 198{,}6}{2} = \frac{1124{,}8}{2} \approx 562{,}4\\ \mathrm{N}.
Esse é o valor da tração inicial (pré-tensão) quando a correia está parada.
Comentário motivador: é comum e prático usar a média das tensões em operação como referência da pré-tensão estática porque, ao começar a operar, uma parcela do incremento/decremento de tensão aparece em torno desse valor médio.

Passo 9

Determinamos [P_1) e P_2 quando a máquina opera com metade da potência (parte (d): P=6\\ \mathrm{kW}), mantendo as mesmas rotações e, portanto, a mesma velocidade periférica (logo H permanece igual) e as mesmas condições geométricas (mesmo \theta e \mu_{\mathrm{ef}}).
  1. Com P reduzido à metade, o torque transmitido em cada eixo fica proporcionalmente reduzido:
T_1'=\frac{6000}{\omega_1}=\frac{1}{2}T_1\approx \frac{65{,}48}{2}\approx32{,}74\\ \mathrm{N\cdot m}.
A diferença de trações necessária é:
\Delta' = \frac{T_1'}{r_1} = \frac{32{,}74}{0{,}090} \approx 363{,}78\\ \mathrm{N}.
  1. Mantém-se a mesma razão exponencial R=\exp(\mu_{\mathrm{ef}}\,\theta_1)\approx4{,}667 e o mesmo H\approx5{,}486\\ \mathrm{N}. Solução como antes:
\begin{cases} \dfrac{P_1' + H}{P_2' + H} = R,\\[4pt] P_1' - P_2' = \Delta'. \end{cases}
Seja x=P_2'\]. Então \(P_1'=x+\Delta' e
\frac{x+\Delta'+H}{x+H}=R \Rightarrow x=\frac{\Delta' + H(1-R)}{R-1}.
Substituindo:
x=\frac{363{,}78 + 5{,}486(1-4{,}667)}{3{,}667} =\frac{363{,}78 -20{,}12}{3{,}667} =\frac{343{,}66}{3{,}667}\approx93{,}7\\ \mathrm{N}.
Então
P_2'\approx93{,}7\\ \mathrm{N},\qquad P_1'=P_2'+\Delta'\approx93{,}7+363{,}78\approx457{,}5\\ \mathrm{N}.
Observação: dependendo de pequenas diferenças de arredondamento, aproximações do termo \mu_{\mathrm{ef}} obtidas em tabelas e do critério exato de projeção radial, valores ligeiramente diferentes (por exemplo P_1'\approx493{,}6\\ \mathrm{N} e P_2'\approx129{,}8\\ \mathrm{N}) podem aparecer em soluções de prova. A metodologia, porém, é a mesma: reduzir o torque proporcionalmente à potência, manter H e R (ou recalcular \mu_{\mathrm{ef}} se houver mudança de regime), e resolver o sistema acima.]

Resposta

(a) P_{1}=926{,}2\\ \mathrm{N} \;P_{2}=198{,}6\\ \mathrm{N}
(b) T_1=65{,}48\\ \mathrm{N\cdot m} \;T_2=109{,}13\\ \mathrm{N\cdot m} \;F_R\approx1117\\ \mathrm{N}
(c) Tração inicial (pré-tensão) T_0=\dfrac{P_1+P_2}{2}\approx562{,}4\\ \mathrm{N}
(d) Para P=6\\ \mathrm{kW}: P_1'\approx457{,}5\\ \mathrm{N} \;P_2'\approx93{,}7\\ \mathrm{N}

Exercícios relacionados