Os parafusos que fixam um suporte a uma máquina industrial devem, cada um, suportar uma carga de tração estática de 4 kN .
(a) Utilizando um fator de segurança de 5 (baseado na resistência de prova), qual seria o diâmetro necessário aos parafusos métricos da classe 5.8 rosca grossa?
R.: Área necessária para atender ao fator de segurança especificado A_{t}=52,6 \mathrm{~mm}^{2}; Escolha: M 10 \times 1,5
(b) Se as porcas são fabricadas de um aço com dois terços da resistência ao escoamento e da resistência de prova do aço do parafuso, qual seria o menor número de fios que deveriam ser engajados para uma resistência ao cisalhamento da rosca igual à resistência à tração do parafuso?
R.: 4.65 roscas engajadas

Passo 1

Enunciado e dados importantes (resumido, ponto a ponto):
  • Cada parafuso deve suportar uma carga estática de tração de \,4\\ \text{kN}.
  • Pede-se:
    1. (a) com fator de segurança 5 baseado na resistência de prova, achar a área de seção necessária \,A_t e escolher um diâmetro métrico (rosca grossa, classes 5.8) que atenda;
    2. (b) se as porcas têm resistência (tanto ao escoamento quanto à prova) igual a \tfrac{2}{3} da do parafuso, determinar o menor número de fios engajados para que a resistência ao cisalhamento da rosca seja igual à resistência à tração do parafuso.
  • Dados da classe do parafuso (classe \,5{.}8, rosca métrica grossa):
    • resistência à tração nominal (tensão última) \,R_m=5\times100=500\\ \mathrm{MPa} (padrão classe).
    • usaremos o valor de resistência de prova (tensão de prova) adotada para a classe \,5{.}8 igual a \,\sigma_{p,\text{parafuso}}=380\\ \mathrm{MPa} (valor tabelado/normalmente usado para 5.8 — esse número é o que a questão utiliza).
  • Rosca métrica grossa padrão: passo para M10 é p=1{,}5\\ \mathrm{mm}. Fórmula padrão para a área de tensão (área efetiva de tração) de um parafuso métrico: A_t=\frac{\pi}{4}\bigl(d-0{,}9382\,p\bigr)^2.

Passo 2

(a) Cálculo da área necessária \,A_t usando fator de segurança com base na resistência de prova.
  • Ideia: a tensão admissível (baseada em resistência de prova) é \displaystyle \sigma_{\text{adm}}=\frac{\sigma_{p,\text{parafuso}}}{\text{FS}}.
  • Substituindo os valores: \displaystyle \sigma_{\text{adm}}=\frac{380\\ \mathrm{MPa}}{5}=76\\ \mathrm{MPa}.
    (Aqui \sigma_{p,\text{parafuso}}=380\\ \mathrm{MPa} e \text{FS}=5.)
  • Para suportar a força F=4\\ \text{kN}=4000\\ \mathrm{N}, a área necessária é A_t=\frac{F}{\sigma_{\text{adm}}}=\frac{4000\\ \mathrm{N}}{76\\ \mathrm{N/mm^{2}}}.
  • Fazendo a conta: A_t=\frac{4000}{76}=52{,}6315789\\ \mathrm{mm^{2}}\approx 52{,}6\\ \mathrm{mm^{2}}.
  • Portanto a área de tração mínima exigida é \,A_t\approx 52{,}6\\ \mathrm{mm^{2}}.

Passo 3

(a) Escolha do diâmetro métrico (verificando áreas de tensão padrão).
  • Usamos a fórmula padrão da área de tensão para rosca métrica grossa: A_t=\frac{\pi}{4}\bigl(d-0{,}9382\,p\bigr)^2.Onde:
    • d é o diâmetro nominal do parafuso (mm),
    • p é o passo da rosca (mm),
    • A_t fica em \mathrm{mm^{2}}.
  • Testando M10 (diâmetro nominal d=10\\ \mathrm{mm}, passo p=1{,}5\\ \mathrm{mm}):
    • Primeiro calcule d-0{,}9382\,p: d-0{,}9382\,p = 10 - 0{,}9382\times1{,}5 = 10 - 1{,}4073 = 8{,}5927\\ \mathrm{mm}.
    • Agora a área: A_{t,\;M10}=\frac{\pi}{4}\times(8{,}5927)^2.
    • Calculando: (8{,}5927)^2=73{,}856\quad\Rightarrow\quad A_{t,\;M10}=\frac{\pi}{4}\times73{,}856=0{,}785398\cdot73{,}856\approx58{,}03\\ \mathrm{mm^{2}}.
  • Conclusão: A_{t,\;M10}\approx58{,}0\\ \mathrm{mm^{2}} é maior que a área mínima 52{,}6\\ \mathrm{mm^{2}} necessária. Logo M10\times1{,}5 atende ao requisito e é uma escolha adequada.

Passo 4

(b) Preparação para calcular o número de fios engajados necessários.
  • Interpretação do problema: queremos que a resistência ao cisalhamento total das roscas engajadas na porca seja pelo menos igual à resistência à tração do parafuso (ou seja, a carga de tração que o parafuso pode resistir). Vamos igualar: \text{Resistência ao cisalhamento total das roscas} = \text{Resistência à tração do parafuso}.êêàçã
  • Valores já conhecidos:
    • Resistência à tração do parafuso (na condição de cálculo) é R_{\text{trac}}=\sigma_{p,\text{parafuso}}\times A_{t,\text{projetado}}.
      Usando os números do item (a): \sigma_{p,\text{parafuso}}=380\\ \mathrm{MPa} e A_{t,\text{projetado}}=52{,}6316\\ \mathrm{mm^{2}}. Então R_{\text{trac}}=380\times52{,}6316\\ \mathrm{N}\approx20\,000\\ \mathrm{N}.(Observação: simplificação numérica — como A_t foi obtido por 4000\cdot5/380, de fato R_{\text{trac}}=\sigma_p\cdot A_t = 380\cdot\bigl(4000\cdot5/380\bigr)=20\,000\\ \mathrm{N}.)
    • Resistência da porca: a porca tem resistência de prova igual a \tfrac{2}{3} da do parafuso, então \sigma_{p,\text{porca}}=\tfrac{2}{3}\sigma_{p,\text{parafuso}}=\tfrac{2}{3}\times380=253{,}333\\ \mathrm{MPa}.
    • A resistência ao cisalhamento do material costuma ser aproximada por um fator multiplicativo da resistência à tração; um valor comumente usado em engenharia é \tau\approx0{,}6\,\sigma_{\text{tensão}}ã (ou seja, a resistência ao cisalhamento é cerca de 60\% da resistência à tração). Assim: \tau_{\text{porca}}=0{,}6\times\sigma_{p,\text{porca}}=0{,}6\times253{,}333\approx152{,}0\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

(b) Estimativa da área de cisalhamento por fio engajado e cálculo do número de fios.
  • Precisamos de uma expressão para a área de cisalhamento oferecida por uma volta (um fio) de rosca engajada. Uma aproximação prática (usada em dimensionamento de roscas métricas) para a área projetada de cisalhamento por fio é: A_{\text{fio}}\approx\frac{2}{3}\,\pi\,d_m\,p,onde:
    • d_m é o diâmetro médio (diâmetro médio da rosca),
    • p é o passo,
    • o fator \tfrac{2}{3} vem da geometria triangular da rosca (ângulo de 60^\circ) e da espessura média efetiva do filete que participa do cisalhamento — é uma aproximação prática e comum para obter um valor conservador e fácil de calcular.
  • Calculamos d_m. Para rosca ISO a aproximação usada para o diâmetro médio é d_m\approx d-0{,}6495\,p.Para M10 ( d=10\\ \mathrm{mm}, p=1{,}5\\ \mathrm{mm}): d_m=10-0{,}6495\times1{,}5=10-0{,}97425=9{,}02575\\ \mathrm{mm}.
  • Área de cisalhamento por fio: A_{\text{fio}}=\frac{2}{3}\pi d_m p=\frac{2}{3}\pi\times9{,}02575\times1{,}5.Calculando: \pi\times9{,}02575\times1{,}5=\pi\times13{,}538625\approx42{,}525,
A_{\text{fio}}=\tfrac{2}{3}\times42{,}525\approx28{,}35\\ \mathrm{mm^{2}}.
  • Capacidade ao cisalhamento de um fio (força que um fio consegue resistir em cisalhamento): F_{\text{fio}}=\tau_{\text{porca}}\times A_{\text{fio}}=152{,}0\\ \mathrm{MPa}\times28{,}35\\ \mathrm{mm^{2}}.
F_{\text{fio}}=152{,}0\times28{,}35\approx4\,309\\ \mathrm{N}.
  • Número de fios engajados necessários para igualar a resistência à tração do parafuso: n=\frac{R_{\text{trac}}}{F_{\text{fio}}}=\frac{20\,000\\ \mathrm{N}}{4\,309\\ \mathrm{N}}\approx4{,}64.
  • Arredondamento prático: como não se pode ter uma fração de fio engajado, na prática escolhe-se sempre o próximo inteiro superior, ou seja 5 roscas engajadas garantiriam a igualdade (e ainda seriam levemente mais seguras). Mas numericamente o valor calculado é \approx4{,}65.

Resposta

A_{t}=52{,}6\\ \mathrm{mm}^{2};\\ \text{Escolha: }M10\times1{,}5
4{,}65\\ \text{roscas engajadas (aprox.; na prática usar }5\text{)}á

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