Considere um acionamento por correia que possui um ângulo de contato de 150^{\circ} na polia menor. A tração no lado frouxo é P_{2}=40 N, a polia motriz tem um diâmetro de 100 mm , a força centrífuga é desprezível e f=0,33. Qual é a capacidade de transmissão de torque da polia? R.: 2.745 N . m

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede a capacidade de transmissão de torque da polia menor:
  • Ângulo de contato: \,150^\circ.
  • Tração no lado frouxo: \,P_{2}=40\\ \mathrm{N}.
  • Diâmetro da polia motriz (menor): \,100\\ \mathrm{mm}.
  • Força centrífuga desprezível.
  • Coeficiente de atrito entre correia e polia: \,f=0{,}33.
A pergunta explícita é: qual é a capacidade de transmissão de torque da polia (ou seja, o torque máximo transmissível antes de escorregamento)?

Passo 2

Conceito e fórmula que usamos (explicação didática):
  • Em correias, a relação de equilíbrio entre as tensões do lado apertado \,P_{1} e do lado frouxo \,P_{2} é dada pela chamada fórmula do atrito para correias:
\frac{P_{1}}{P_{2}} = e^{f\theta},
onde:
  • \,f é o coeficiente de atrito (aqui dado),
  • \,\theta é o ângulo de contato em radianos,
  • \,e é a base do logaritmo natural.
Breve derivação (muito útil para a prova): considere um elemento infinitesimal de correia subtendendo um ângulo \,d\theta. A variação de tensão \,dP satisfaz dP = fP\,d\theta. Dividindo por P e integrando ao longo do ângulo total \,\theta:
\int_{P_{2}}^{P_{1}} \frac{dP}{P} = \int_{0}^{\theta} f\,d\theta
o que leva a
\ln\!\left(\frac{P_{1}}{P_{2}}\right) = f\theta
e exponentiando:
\frac{P_{1}}{P_{2}} = e^{f\theta}.
Essa fórmula nos dá \,P_{1} a partir de \,P_{2}, f e \theta.

Passo 3

Converter o ângulo para radianos e calcular o fator exponencial:
  • Ângulo em radianos:
\theta = 150^\circ = \frac{150\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}\\ \text{rad}.
  • Calcular o produto f\theta:
f\theta = 0{,}33 \cdot \frac{5\pi}{6}.
Agora avaliamos numericamente:
\frac{5\pi}{6} \approx 2{,}617993878\\ \text{rad},
f\theta \approx 0{,}33 \times 2{,}617993878 \approx 0{,}86393798.

Passo 4

Calcular \,P_{1} usando a relação exponencial:
P_{1} = P_{2}\,e^{f\theta}.
Substituindo numericamente:
P_{1} = 40\\ \mathrm{N} \times e^{0{,}86393798} \approx 40 \times 2{,}37252 \approx 94{,}901\\ \mathrm{N}.
(Arredondei as contas com precisão suficiente para o resultado final.)

Passo 5

Relação entre diferença de tensões e torque:
  • O torque transmissível pela polia é gerado pela diferença de tensões entre os lados apertado e frouxo multiplicada pelo raio da polia:
T = (P_{1}-P_{2})\,r.
  • Converter diâmetro para raio em metros:
\text{diâmetro} = 100\\ \mathrm{mm} = 0{,}100\\ \mathrm{m} \quad\Rightarrow\quad r = 0{,}050\\ \mathrm{m}.â

Passo 6

Calcular a diferença de tensões e o torque:
P_{1}-P_{2} \approx 94{,}901\\ \mathrm{N} - 40\\ \mathrm{N} = 54{,}901\\ \mathrm{N}.
T = 54{,}901\\ \mathrm{N} \times 0{,}050\\ \mathrm{m} \approx 2{,}74506\\ \mathrm{N\cdot m}.
Arredondando de forma apropriada obtemos 2{,}745\\ \mathrm{N\cdot m}, que coincide com o valor indicado no enunciado.

Resposta

\,2{,}745\\ \mathrm{N\cdot m}

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