A corrente elétrica em um circuito segue uma distribuição normal com média de 10 A e desvio padrão de 2 A .
(a) Qual a probabilidade de que a corrente esteja entre 8 A e 12 A ?
(b) Qual a corrente abaixo da qual se encontram os
menores valores de corrente?
(c) Se um engenheiro deseja projetar o circuito para que a corrente esteja dentro de 3 desvios padrão da média, quais são os valores limites da corrente?
(a) Qual a probabilidade de que a corrente esteja entre 8 A e 12 A ?
(b) Qual a corrente abaixo da qual se encontram os
(c) Se um engenheiro deseja projetar o circuito para que a corrente esteja dentro de 3 desvios padrão da média, quais são os valores limites da corrente?
Passo 1
O enunciado dá que a corrente elétrica
segue uma distribuição normal com média e desvio padrão:
- média
A; - desvio padrão
A.
As perguntas são:
(a) Qual a probabilidade de ?
(b) Qual o valor de corrente tal que
dos menores valores de corrente estão abaixo de
(isto é, o
º percentil)?
(c) Quais são os valores limites da corrente se o projeto deve cobrir até desvios padrão da média?
(a) Qual a probabilidade de
(b) Qual o valor de corrente
(c) Quais são os valores limites da corrente se o projeto deve cobrir até
Passo 2
Vou explicar a ideia principal da teoria que usamos aqui (sem pular etapas).
Uma variável aleatória
que é normal com média
e desvio padrão
escreve-se
. Para usar tabelas ou funções prontas (da distribuição normal padrão), transformamos
em uma variável normal padrão
com média
e desvio padrão
usando a padronização:
Aqui:
-
é a variável original (corrente em ampères), -
é a média ( A), -
é o desvio padrão ( A), -
é a nova variável com distribuição .
A vantagem: probabilidades de
viram probabilidades de
que podemos ler em tabelas da normal padrão
ou obter na calculadora. Também usamos a simetria da normal padrão:
.
Passo 3
Resolução da parte (a).
Queremos
Padronizando os extremos:
Portanto
Usando a simetria
, obtemos
A tabela ou calculadora dá
. Então
Comentário prático: isso é o conhecido “regra empírica” de que aproximadamente
dos valores de uma normal estão a menos de
desvio padrão da média, o que bate com o resultado obtido.
Passo 4
Resolução da parte (b).
Queremos o
º percentil
tal que
Padronizando, seja
o valor tal que
. Então
Na tabela inversa da normal padrão encontra-se
(valor negativo porque
). Logo
Arredondando para duas casas decimais,
. Isso significa que
das correntes observadas ficam abaixo de aproximadamente
A.
Passo 5
Resolução da parte (c).
“Estar dentro de 3 desvios padrão da média” significa aceitar o intervalo
Calculando:
Portanto os limites são
e
. (Só para lembrar: pela regra empírica, aproximadamente
dos valores de uma normal ficam dentro de
, mas a pergunta pediu apenas os limites.)
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (rápido e prático):
- Para intervalos centrados na média, calcule o número de sigmas e use a regra empírica:
, , . - Para percentis use
, onde é o quantil da normal padrão: . Tenha à mão uma tabela de ou calcule com a função inversa da normal na calculadora. - Não esqueça de padronizar sempre para usar a tabela:
.
Força aí — você consegue! Faça mais alguns exercícios parecidos para fixar.
Resposta
(a)
)
(b)
(c) limites: e
(b)
(c) limites: