A corrente elétrica em um circuito segue uma distribuição normal com média de 10 A e desvio padrão de 2 A .
(a) Qual a probabilidade de que a corrente esteja entre 8 A e 12 A ?
(b) Qual a corrente abaixo da qual se encontram os 25 \% menores valores de corrente?
(c) Se um engenheiro deseja projetar o circuito para que a corrente esteja dentro de 3 desvios padrão da média, quais são os valores limites da corrente?

Passo 1

O enunciado dá que a corrente elétrica X segue uma distribuição normal com média e desvio padrão:
  • média \mu = 10 A;
  • desvio padrão \sigma = 2 A.
As perguntas são:
(a) Qual a probabilidade de \,8\\ \text{A} \le X \le 12\\ \text{A}?
(b) Qual o valor de corrente q tal que 25\% dos menores valores de corrente estão abaixo de q (isto é, o 25º percentil)?
(c) Quais são os valores limites da corrente se o projeto deve cobrir até \pm 3 desvios padrão da média?

Passo 2

Vou explicar a ideia principal da teoria que usamos aqui (sem pular etapas).
Uma variável aleatória X que é normal com média \mu e desvio padrão \sigma escreve-se \,X\sim N(\mu,\sigma^{2}). Para usar tabelas ou funções prontas (da distribuição normal padrão), transformamos X em uma variável normal padrão Z com média 0 e desvio padrão 1 usando a padronização:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui:
  • X é a variável original (corrente em ampères),
  • \mu é a média ( \,10 A),
  • \sigma é o desvio padrão ( \,2 A),
  • Z é a nova variável com distribuição N(0,1).
A vantagem: probabilidades de X viram probabilidades de Z que podemos ler em tabelas da normal padrão \Phi(z)=P(Z\le z) ou obter na calculadora. Também usamos a simetria da normal padrão: \Phi(-z)=1-\Phi(z).

Passo 3

Resolução da parte (a).
Queremos
P(8\le X\le 12).
Padronizando os extremos:
z_{1}=\frac{8-\mu}{\sigma}=\frac{8-10}{2}=\frac{-2}{2}=-1, \qquad z_{2}=\frac{12-\mu}{\sigma}=\frac{12-10}{2}=\frac{2}{2}=1.
Portanto
P(8\le X\le 12)=P(-1\le Z\le 1)=\Phi(1)-\Phi(-1).
Usando a simetria \Phi(-1)=1-\Phi(1), obtemos
P(-1\le Z\le 1)=\Phi(1)-(1-\Phi(1))=2\Phi(1)-1.
A tabela ou calculadora dá \Phi(1)\approx 0{,}84134. Então
P(8\le X\le 12)\approx 2\cdot0{,}84134-1=0{,}68268\approx0{,}6827.
Comentário prático: isso é o conhecido “regra empírica” de que aproximadamente 68{,}27\% dos valores de uma normal estão a menos de 1 desvio padrão da média, o que bate com o resultado obtido.

Passo 4

Resolução da parte (b).
Queremos o 25º percentil q tal que
P(X\le q)=0{,}25.
Padronizando, seja z_{0,25} o valor tal que \Phi(z_{0,25})=0{,}25. Então
q=\mu + z_{0,25}\sigma.
Na tabela inversa da normal padrão encontra-se z_{0,25}\approx -0{,}67449 (valor negativo porque 0{,}25<0{,}5). Logo
q=10 + (-0{,}67449)\cdot 2 = 10 - 1{,}34898 = 8{,}65102\ldots
Arredondando para duas casas decimais, q\approx 8{,}65\\ \text{A}. Isso significa que 25\% das correntes observadas ficam abaixo de aproximadamente 8{,}65 A.

Passo 5

Resolução da parte (c).
“Estar dentro de 3 desvios padrão da média” significa aceitar o intervalo
\mu-3\sigma \le X \le \mu+3\sigma.
Calculando:
\mu-3\sigma = 10 - 3\cdot 2 = 10 - 6 = 4,
\mu+3\sigma = 10 + 3\cdot 2 = 10 + 6 = 16.
Portanto os limites são 4\\ \text{A} e 16\\ \text{A}. (Só para lembrar: pela regra empírica, aproximadamente 99{,}73\% dos valores de uma normal ficam dentro de \pm 3\sigma, mas a pergunta pediu apenas os limites.)

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (rápido e prático):
  • Para intervalos centrados na média, calcule o número de sigmas e use a regra empírica: 1\sigma\approx68{,}27\%, 2\sigma\approx95{,}45\%, 3\sigma\approx99{,}73\%.
  • Para percentis use q=\mu+z_{p}\sigma, onde z_{p} é o quantil da normal padrão: \Phi(z_{p})=p. Tenha à mão uma tabela de z ou calcule com a função inversa da normal na calculadora.
  • Não esqueça de padronizar sempre para usar a tabela: z=(x-\mu)/\sigma.
Força aí — você consegue! Faça mais alguns exercícios parecidos para fixar.

Resposta

(a) P(8\le X\le 12)\approx 0{,}6827 \;(\approx 68{,}27\%)
(b) q\approx 8{,}65\\ \text{A}
(c) limites: 4\\ \text{A} e 16\\ \text{A}

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