4.2 A corrente em um resistor segue uma distribuição normal com uma média de 10 mA e um desvio padrão de 1 mA . Se 5 resistores são escolhidos aleatoriamente, qual é a probabilidade de que pelo menos 3 resistores tenham uma corrente entre 9,5 \mathrm{~mA} e 10,5 \mathrm{~mA} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • A corrente em um resistor segue uma distribuição normal com média \mu = 10\\ \text{mA} e desvio padrão \sigma = 1\\ \text{mA}.
  • Foram escolhidos aleatoriamente 5 resistores (amostra de tamanho n=5).
  • Queremos a probabilidade de que pelo menos 3 desses 5 resistores tenham corrente entre 9{,}5\\ \text{mA} e 10{,}5\\ \text{mA}.
Informações relevantes extraídas:
  • Distribuição de cada resistor: X \sim N(\mu=10,\sigma^2=1).
  • Evento “um resistor está entre 9{,}5 e 10{,}5 mA” tem certa probabilidade p (a mesma para cada resistor).
  • As escolhas são aleatórias (assumimos independência entre resistores), então o número de resistores no intervalo segue uma distribuição binomial com parâmetros n=5 e p (a ser calculado).
  • A pergunta é: calcular P(\text{pelo menos }3) = P(K\ge 3), onde K\sim \mathrm{Binomial}(n=5,p).

Passo 2

Calcular a probabilidade p de um único resistor ter corrente entre 9{,}5 e 10{,}5 mA.
Primeiro transformamos para a variável padrão Z (normal padrão com média 0 e desvio 1). A transformação é
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui \mu=10 e \sigma=1. Para os limites:
\frac{9{,}5-10}{1} = -0{,}5,\qquad \frac{10{,}5-10}{1}=0{,}5.
Portanto
p = P(9{,}5 \le X \le 10{,}5) = P\big(-0{,}5 \le Z \le 0{,}5\big).
Seja \Phi a função de distribuição acumulada da normal padrão. Então
p = \Phi(0{,}5)-\Phi(-0{,}5).
Pela simetria da normal padrão \Phi(-a)=1-\Phi(a), portanto
p = \Phi(0{,}5)-\big(1-\Phi(0{,}5)\big)=2\Phi(0{,}5)-1.
Usando uma tabela ou calculadora da normal padrão \Phi(0{,}5)\approx 0{,}6914624613. Assim
p \approx 2\cdot 0{,}6914624613 - 1 = 0{,}3829249226.
Arredondando para uso prático: p \approx 0{,}382925.
(Interpretação rápida: cerca de 38{,}3\% de um resistor seguem neste intervalo de \pm0{,}5 mA em torno da média.)

Passo 3

Modelagem do número de sucessos (resistores no intervalo) e a probabilidade pedida.
Como cada resistor tem probabilidade p de estar no intervalo e as escolhas são independentes, o número K de resistores dentre os 5 que caem no intervalo segue a distribuição binomial
K \sim \mathrm{Binomial}(n=5,p).
A função de probabilidade é
P(K=k)=\binom{5}{k} p^{k} (1-p)^{5-k}.
Queremos a probabilidade de “pelo menos 3”, ou seja
P(K\ge 3)=\sum_{k=3}^{5} \binom{5}{k} p^{k} (1-p)^{5-k}.

Passo 4

Cálculo numérico explícito da soma. Primeiro definimos q=1-p.
Usando p\approx 0{,}3829249226 obtemos
q = 1-p \approx 0{,}6170750774.
Agora calculamos termo a termo (usando combinações \binom{5}{3}=10, \binom{5}{4}=5, \binom{5}{5}=1):
  1. Para k=3:
\binom{5}{3} p^{3} q^{2} = 10\cdot p^{3}\cdot q^{2}.
Calculando potências aproximadas:
p^{2}\approx 0{,}14663155,\qquad p^{3}\approx 0{,}0561699,
q^{2}\approx 0{,}381, \quad\text{logo}\quad 10\cdot p^{3} q^{2}\approx 10\cdot 0{,}0561699\cdot 0{,}381 \approx 0{,}21388.
  1. Para k=4:
\binom{5}{4} p^{4} q = 5\cdot p^{4}\cdot q.
Com
p^{4}\approx 0{,}021513,\quad q\approx 0{,}617075,
temos
5\cdot p^{4} q \approx 5\cdot 0{,}021513\cdot 0{,}617075 \approx 0{,}06639.
  1. Para k=5:
\binom{5}{5} p^{5} = p^{5} \approx 0{,}008238.
Somando os três termos:
P(K\ge 3)\approx 0{,}21388 + 0{,}06639 + 0{,}00824 \approx 0{,}28851.
Arredondando de forma razoável, a probabilidade é aproximadamente 0{,}2885 (ou cerca de 28{,}85\%).

Passo 5

Interpretação rápida e encorajamento: a chance de que pelo menos 3 dos 5 resistores caíam nesse intervalo bastante estreito ( \pm 0{,}5 mA) é relativamente baixa, cerca de 29\%. Bom trabalho por chegar até aqui — entender a combinação de normal e binomial é um truque recorrente em provas!

Resposta

0{,}2885\\ (\text{aproximadamente})

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