4.2 A corrente em um resistor segue uma distribuição normal com uma média de 10 mA e um desvio padrão de 1 mA . Se 5 resistores são escolhidos aleatoriamente, qual é a probabilidade de que pelo menos 3 resistores tenham uma corrente entre
e
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- A corrente em um resistor segue uma distribuição normal com média
e desvio padrão . - Foram escolhidos aleatoriamente
resistores (amostra de tamanho ). - Queremos a probabilidade de que pelo menos
desses resistores tenham corrente entre e .
Informações relevantes extraídas:
- Distribuição de cada resistor:
. - Evento “um resistor está entre
e mA” tem certa probabilidade (a mesma para cada resistor). - As escolhas são aleatórias (assumimos independência entre resistores), então o número de resistores no intervalo segue uma distribuição binomial com parâmetros
e (a ser calculado). - A pergunta é: calcular
, onde .
Passo 2
Calcular a probabilidade
de um único resistor ter corrente entre
e
mA.
Primeiro transformamos para a variável padrão
(normal padrão com média 0 e desvio 1). A transformação é
Aqui
e
. Para os limites:
Portanto
Seja
a função de distribuição acumulada da normal padrão. Então
Pela simetria da normal padrão
, portanto
Usando uma tabela ou calculadora da normal padrão
. Assim
Arredondando para uso prático:
.
(Interpretação rápida: cerca de
de um resistor seguem neste intervalo de
mA em torno da média.)
Passo 3
Modelagem do número de sucessos (resistores no intervalo) e a probabilidade pedida.
Como cada resistor tem probabilidade
de estar no intervalo e as escolhas são independentes, o número
de resistores dentre os
que caem no intervalo segue a distribuição binomial
A função de probabilidade é
Queremos a probabilidade de “pelo menos 3”, ou seja
Passo 4
Cálculo numérico explícito da soma. Primeiro definimos
.
Usando
obtemos
Agora calculamos termo a termo (usando combinações
,
,
):
- Para
:
Calculando potências aproximadas:
- Para
:
Com
temos
- Para
:
Somando os três termos:
Arredondando de forma razoável, a probabilidade é aproximadamente
(ou cerca de
).
Passo 5
Interpretação rápida e encorajamento: a chance de que pelo menos 3 dos 5 resistores caíam nesse intervalo bastante estreito (
mA) é relativamente baixa, cerca de
. Bom trabalho por chegar até aqui — entender a combinação de normal e binomial é um truque recorrente em provas!