A corrente entrando no terminal positivo de um elemento é i(t)=2 sen(t-Z) A, e a tensão entre os terminais do elemento é v(t)=2 sen(t) V. Determine se o elemento é ativo ou passivo.

Passo 1

Beleza, olha só o que o enunciado tá pedindo:
– Temos um elemento qualquer (pode ser um resistor, capacitor, bobina etc.) com corrente entrando no terminal positivo dada por
e tensão entre terminais
– A gente quer saber se esse elemento é ativo (fornece energia) ou passivo (absorve energia).
Conteúdo que vamos usar: definição de potência instantânea, média de potência em regime senoidal e uma identidade trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, lembra que potência instantânea é
p(t)=v(t),i(t)
Isso vai nos dar a “curva” de potência ao longo do tempo. Se a média disso for positiva, elemento absorve energia (passivo); se for negativa, ele entrega energia (ativo); se for zero, é puramente reativo.

Passo 3

Substituindo as expressões de p(t)=l[2sen(t)r];l[2sen(t-Z)r] =4,sen(t),sen(t-Z) e sen A,sen B=tfrac12l[cos(A-B)-cos(A+B)r] :
Agora aplicamos a identidade
Tomando sen(t),sen(t-Z) =tfrac12l[cosl(t-(t-Z)r)-cosl(t+(t-Z)r)r] =tfrac12l[cos(Z)-cos(2t-Z)r] e p(t)=4cdottfrac12l[cos(Z)-cos(2t-Z)r] =2,cos(Z);-;2,cosl(2t-Zr) :
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Passo 4

Pra saber se absorve ou fornece, a gente calcula a potência média em um período Prm m=1Tintegral0^T p(t), dt =12piintegral0^2pil[2cos(Z)-2cos(2t-Z)r]dt . Como é senoidal com frequência 1 rad/s, Prm m =12pil[2cos(Z)cdot2pir] =2,cos(Z)(watts) :
– A parte é constante, então integra de 0 a .
– A parte tem média zero (integral de cosseno completo num período é zero).
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Passo 5

Interpretação final:
  • Se , ou seja , o elemento absorve potência (passivo).
  • Se , ou seja , ele entrega potência (ativo).
  • Se , a potência média é zero e ele é puramente reativo (não absorve nem entrega energia no longo prazo).

Resposta

A potência média é
Prm m=2cos(Z);(W)
Logo:
  • Para , o elemento é passivo.
  • Para , o elemento é ativo.
  • Para , é reativo.

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