Determine os elementos dos triângulos de velocidade, na entrada e na saída, de uma bomba axial com os seguintes dados:
a) diâmetro externo \mathrm{De}=450 \mathrm{~mm},
b) diâmetro interno \mathrm{Di}=250 \mathrm{~mm},
c) vazão =0,75 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s},
d) rotação n=900 RPM,
e) ângulo construtivo na saída \beta_{5}=55^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar os elementos dos triângulos de velocidade, na entrada e na saída, de uma bomba axial, usando os dados fornecidos. Dados relevantes do enunciado (vou listá-los exatamente como você deu):
\text{Diâmetro externo }D_e=450\\ \text{mm},â
\text{Diâmetro interno }D_i=250\\ \text{mm},â
\text{Vazão }Q=0{,}75\\ \mathrm{m^3/s},ã
\text{Rotação }n=900\\ \mathrm{RPM},çã
\text{Ângulo construtivo na saída }\beta_5=55^\circ.Âí
Observação: o enunciado não forneceu ângulo de entrada nem pré-rodízio, então, para construir o triângulo de entrada adotarei a hipótese usual de entrada axial (ou seja, velocidade absoluta tangencial na entrada c_{u1}=0). A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Definição das quantidades e fórmulas que vamos usar (aula rápida, passo a passo):
  • Radii e raio médio: R_e=\frac{D_e}{2},\qquad R_i=\frac{D_i}{2},\qquad r_m=\frac{R_e+R_i}{2}.Aqui R_e e R_i são o raio externo e interno, e r_m é o raio médio onde usualmente avaliamos as velocidades tangenciais.
  • Velocidade angular e velocidade periférica (velocidade da pá): \omega = \frac{2\pi n}{60},\qquad u=\omega\,r_m.Onde n é a rotação em RPM, \omega em rad/s e u em m/s.
  • Velocidade axial (ou meridional) uniforme assumida: c_m=\frac{Q}{A},\qquad A=\pi\left(R_e^2-R_i^2\right).Aqui A é a área de passagem entre casco e cubo.
  • Relação entre componentes do triângulo de velocidade na saída:
    • O ângulo construtivo \beta_5 que o enunciado dá eu interpreto como o ângulo entre a velocidade relativa \mathbf{w}_5 e a direcção axial (convenção comum). Assim
    \tan\beta_5=\frac{w_{u5}}{c_m},onde w_{u5} é a componente tangencial da velocidade relativa na saída.
    • Relação entre componentes absoluta e relativa (vetores): \mathbf{w}=\mathbf{c}-\mathbf{u}. Para as componentes tangenciais:
    w_{u}=c_u-u \quad\Rightarrow\quad c_u=w_{u}+u.
    • Magnitudes das velocidades:
    c=\sqrt{c_m^2 + c_u^2},\qquad w=\sqrt{c_m^2 + w_u^2}.
  • No ingresso, adotamos a hipótese de entrada axial: c_{u1}=0. Então: c_1=c_m,\qquad w_{u1}=c_{u1}-u=-u,\qquad w_1=\sqrt{c_m^2+u^2},\qquad \tan\beta_1=\frac{w_{u1}}{c_m}.
Vou aplicar essas fórmulas com os valores numéricos a seguir.

Passo 3

Calcular os comprimentos geométricos e o raio médio:
R_e=\frac{D_e}{2}=\frac{0{,}450}{2}=0{,}225\\ \mathrm{m},
R_i=\frac{D_i}{2}=\frac{0{,}250}{2}=0{,}125\\ \mathrm{m},
r_m=\frac{R_e+R_i}{2}=\frac{0{,}225+0{,}125}{2}=0{,}175\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular velocidade angular e velocidade periférica u:
\omega=\frac{2\pi n}{60}=\frac{2\pi\cdot 900}{60}=30\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 94{,}2478\\ \mathrm{rad/s},
u=\omega\,r_m=30\pi\cdot 0{,}175=5{,}25\pi\\ \mathrm{m/s}\approx 16{,}493\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular área de escoamento e velocidade axial c_m:
A=\pi\left(R_e^2-R_i^2\right)=\pi\left(0{,}225^2-0{,}125^2\right)=\pi\cdot 0{,}035\\ \mathrm{m^2}\approx 0{,}1099557\\ \mathrm{m^2},
c_m=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}75}{0{,}1099557}\\ \mathrm{m/s}\approx 6{,}8192\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação prática: c_m é a componente axial da velocidade do fluido, praticamente uniforme entre cubo e casco se adotarmos aproximação axissimétrica.

Passo 6

Triângulo de velocidade na entrada (hipótese: entrada axial, c_{u1}=0):
  • Componente tangencial absoluta na entrada: c_{u1}=0\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade absoluta na entrada: c_1=c_m\approx 6{,}8192\\ \mathrm{m/s}.
  • Componente tangencial relativa na entrada: w_{u1}=c_{u1}-u=0-u=-u\approx -16{,}493\\ \mathrm{m/s}.O sinal negativo indica que a componente tangencial relativa aponta no sentido contrário à rotação.
  • Módulo da velocidade relativa na entrada: w_1=\sqrt{c_m^2+u^2}=\sqrt{6{,}8192^2+16{,}493^2}\approx 17{,}846\\ \mathrm{m/s}.
  • Ângulo relativo na entrada (medido a partir da axial; valor negativo indica inclinação contrária à rotação): \beta_1=\arctan\!\left(\frac{w_{u1}}{c_m}\right)=\arctan\!\left(\frac{-16{,}493}{6{,}8192}\right)\approx -67{,}50^\circ.Em módulo a pá deveria ter um ângulo de cerca de 67{,}5^\circ em relação ao eixo axial, apontando para trás (conforme o sinal).

Passo 7

Triângulo de velocidade na saída (usando \beta_5=55^\circ conforme convenção definida no Passo 2):
  • Primeiro, componente tangencial relativa na saída a partir de \tan\beta_5: w_{u5}=c_m\tan\beta_5=6{,}8192\cdot\tan(55^\circ).Calculando numericamente: \tan(55^\circ)\approx 1{,}428148\quad\Rightarrow\quad w_{u5}\approx 6{,}8192\cdot 1{,}428148\approx 9{,}7439\\ \mathrm{m/s}.
  • Componente tangencial absoluta na saída: c_{u5}=w_{u5}+u\approx 9{,}7439+16{,}493\approx 26{,}237\\ \mathrm{m/s}.
  • Módulo da velocidade absoluta na saída: c_5=\sqrt{c_m^2+c_{u5}^2}=\sqrt{6{,}8192^2+26{,}237^2}\approx 27{,}110\\ \mathrm{m/s}.
  • Módulo da velocidade relativa na saída: w_5=\sqrt{c_m^2+w_{u5}^2}=\sqrt{6{,}8192^2+9{,}7439^2}\approx 11{,}896\\ \mathrm{m/s}.
  • Ângulo absoluto de saída (ângulo entre \mathbf{c}_5 e o eixo axial), denotado \alpha_5: \alpha_5=\arctan\!\left(\frac{c_{u5}}{c_m}\right)=\arctan\!\left(\frac{26{,}237}{6{,}8192}\right)\approx 75{,}44^\circ.
  • Lembrete físico: com essas componentes, a contribuição de velocidade tangencial absoluta à energia (equação de Euler) seria u\,(c_{u5}-c_{u1})=u\cdot c_{u5} (se precisar do salto de entalpia específico).

Passo 8

Resumo numérico (valores arredondados, prontos para uso em prova). Vou listar os elementos dos triângulos de velocidade na entrada e na saída, com as grandezas principais: u, c_m, c_u, c, w_u, w, e ângulos \beta / \alpha.

Resposta

Entrada: u\approx 16{,}49\\ \mathrm{m/s},\\ c_m\approx 6{,}82\\ \mathrm{m/s},\\ c_{u1}=0\\ \mathrm{m/s},\\ c_1\approx 6{,}82\\ \mathrm{m/s},\\ w_{u1}\approx -16{,}49\\ \mathrm{m/s},\\ w_1\approx 17{,}85\\ \mathrm{m/s},\\ \beta_1\approx -67{,}50^\circ
Saída: u\approx 16{,}49\ \mathrm{m/s},\ c_m\approx 6{,}82\ \mathrm{m/s},\ w_{u5}\approx 9{,}74\ \mathrm{m/s},\ c_{u5}\approx 26{,}24\ \mathrm{m/s},\ w_5\approx 11{,}90\ \mathrm{m/s},\ c_5\approx 27{,}11\ \mathrm{m/s},\ \beta_5=55^\circ,\ \alpha_5\approx 75{,}44^\circ

Exercícios relacionados