A corrente \mathrm{i}=25+18 \cos \left(\mathrm{t}+30^{\circ}\right)+15 \cos \left(2 \mathrm{t}-60^{\circ}\right)+12 \cos \left(3 \mathrm{t}+25^{\circ}\right)+9 \cos (4 \mathrm{t} \left.-10^{\circ}\right)+5 \cos \left(5 \mathrm{t}-18^{\circ}\right)+2 \cos \left(6 \mathrm{t}+45^{\circ}\right) A, circula em um resistor de 4 \Omega. Determine o valor eficaz da corrente e a potência média dissipada pẹlo resistor.

Passo 1

O enunciado dá a corrente periódica que circula num resistor de 4\\ \Omega e pede duas coisas:
  • Determinar o valor eficaz (RMS) da corrente.
  • Determinar a potência média dissipada pelo resistor.
A corrente fornecida é
i = 25 + 18\cos\!\left(t+30^\circ\right) + 15\cos\!\left(2t-60^\circ\right) + 12\cos\!\left(3t+25^\circ\right) +9\cos\!\left(4t-10^\circ\right) + 5\cos\!\left(5t-18^\circ\right) + 2\cos\!\left(6t+45^\circ\right)\\ \text{A}.
Peguei da expressão os seguintes componentes (amplitudes) explicitamente:
I_0=25,\quad I_1=18,\quad I_2=15,\quad I_3=12,\quad I_4=9,\quad I_5=5,\quad I_6=2.
O resistor tem R=4\\ \Omega.

Passo 2

Definição útil (a que você vai usar na prova): o valor eficaz (RMS) de uma corrente periódica i(t) é
I_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\overline{i^2(t)}},
onde \overline{\cdot} significa média temporal sobre um período. Para calcular potência média dissipada em um resistor R usa-se
P_{\mathrm{média}}=\overline{i^2(t)}\,R = I_{\mathrm{rms}}^{2}\,R.é
Ou seja, basta encontrar \overline{i^2(t)}.

Passo 3

Explicação didática sobre por que podemos tratar cada componente separadamente: escrevendo genericamente
i(t)=I_0+\sum_{k\ge1} I_k\cos(\omega_k t+\phi_k),
temos
i^2(t)=I_0^2 + 2I_0\sum_{k}I_k\cos(\omega_k t+\phi_k) + \sum_{k}I_k^2\cos^2(\omega_k t+\phi_k) +2\sum_{k<\ell}I_k I_\ell \cos(\omega_k t+\phi_k)\cos(\omega_\ell t+\phi_\ell).
Ao fazer a média temporal sobre um período comum:
  • \overline{\cos(\omega_k t+\phi_k)}=0 para qualquer \omega_k\neq0.
  • Produtos de cossenos com frequências distintas têm média zero: usando a identidade produto-para-soma,
\cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\big(\cos(A-B)+\cos(A+B)\big),
cada termo vira soma de cossenos com frequências não-nulas, cuja média é zero.
  • Finalmente, \overline{\cos^2(\omega_k t+\phi_k)}=\tfrac{1}{2}.
Portanto todos os termos cruzados e os termos lineares em cosinus se anulam na média, sobrando
\overline{i^2(t)}=I_0^2 + \tfrac{1}{2}\sum_{k\ge1} I_k^2.
Esta é uma fórmula muito prática: o quadrado eficaz é soma do quadrado da componente DC mais metade do quadrado das amplitudes dos harmônicos.

Passo 4

Aplicando a fórmula com os valores que pegamos da expressão:
Calcular os quadrados das amplitudes (tudo em ampères ao quadrado):
I_0^2 = 25^2 = 625,
I_1^2=18^2=324,\quad I_2^2=15^2=225,\quad I_3^2=12^2=144,
I_4^2=9^2=81,\quad I_5^2=5^2=25,\quad I_6^2=2^2=4.
Somando os quadrados dos harmônicos:
\sum_{k=1}^{6} I_k^2 = 324+225+144+81+25+4 = 803.
Metade dessa soma é
\tfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{6} I_k^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 803 = 401{,}5.
Logo
\overline{i^2(t)} = I_0^2 + \tfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{6} I_k^2 = 625 + 401{,}5 = 1026{,}5.
Portanto o valor eficaz da corrente é
I_{\mathrm{rms}}=\sqrt{1026{,}5}.
Sem calculadora, dá para aproximar assim: 32^2=1024. A diferença é 1026{,}5-1024=2{,}5. Usando uma aproximação linear da raiz,
\sqrt{1026{,}5}\approx 32 + \dfrac{2{,}5}{2\cdot 32}=32 + \dfrac{2{,}5}{64}=32 + 0{,}0390625\approx 32{,}039.

Passo 5

Agora a potência média dissipada no resistor R=4\\ \Omega:
P_{\mathrm{média}} = \overline{i^2(t)}\,R = 1026{,}5 \cdot 4 = 4106{,}0\\ \text{W}.é
Interpretação final curta: o termo DC (25 A) contribui fortemente para o RMS; as componentes harmônicas somam energia mas cada uma contribui com metade do quadrado da amplitude. Se quiser reduzir a potência dissipada no resistor, reduzir a componente DC é o mais eficiente.

Resposta

I_{\mathrm{rms}}=32{,}039\\ \mathrm{A}
P_{\mathrm{média}}=4106{,}0\\ \mathrm{W}é

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