QUEST. 4) Sabe-se que a densidade de fluxo eletrico em uma deterninada regiăo do espaço é dada por
. Com base nesta informaçăo determine o fluxo que atravessa a superficie fechada definida por $-1 \leq x \leq 2 ;-2 \leq y \leq 1 \leq ;-1 \leq z \leq 3
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado o campo densidade de fluxo elétrico
- A superfície fechada é a fronteira do paralelepípedo (caixa) definido por:
- Pedido: determinar o fluxo total de
através dessa superfície fechada (fluxo total saindo da região).
Passo 2
Estratégia e a ferramenta que vamos usar (explicação didática):
- Quando se pede o fluxo total de um campo vetorial através de uma superfície fechada, uma forma poderosa e simples é usar o Teorema da Divergência (também chamado de Teorema de Gauss). Ele diz que o fluxo de um campo vetorial
através da superfície fechada que envolve um volume é igual à integral tripla, sobre o volume , da divergência de :
- O que significa cada coisa:
-
é o fluxo total saindo da superfície . -
é a divergência de , definida em coordenadas cartesianas por
onde são as componentes de . -
é o elemento de volume (em coordenadas cartesianas ).
-
- Por que usar o Teorema da Divergência aqui: a superfície é fechada e é uma caixa com limites constantes — a integral tripla fica muito direta, evitando ter que calcular fluxos separadamente em cada face. Então vamos calcular
e integrar no volume.
Passo 3
Calcular a divergência
passo a passo:
- Identificar as componentes:
- Calcular as derivadas parciais:
-
. (Aqui é tratado como constante ao derivar em relação a .) -
. (Aqui é constante ao derivar em relação a .) -
, pois .
-
- Somando:
Passo 4
Escrever a integral tripla e simplificar usando os limites da caixa:
- Pelo Teorema da Divergência:
- Em coordenadas cartesianas
e os limites são independentes, então: - Observação prática: a integranda não depende de
, logo a integral em apenas multiplica pelo comprimento do intervalo em , que é . Podemos então calcular a integral dupla em e depois multiplicar por :
Passo 5
Integrar em
explicitando cada termo:
- Separe a integral em duas partes:
- Calcular cada uma:
- Para a primeira:
- Para a segunda:
é constante em relação a , então
- Para a primeira:
- Somando os dois resultados:
Passo 6
Integrar em
e multiplicar pelo comprimento em
:
- Agora calcular
- Avaliar a primitiva em
: - Avaliar em
: - Diferença:
- Multiplicando pelo fator
: - Esse
é o valor da integral dupla em . Multiplicando pelo fator do passo 4 (a integral em que vale ):
Passo 7
Unidades e conclusão final:
- Como
tem unidades de e a integral de fluxo sobre uma superfície dá carga (Coulombs), o resultado é em Coulombs. - Portanto o fluxo total de
através da superfície fechada é .