QUEST. 4) Sabe-se que a densidade de fluxo eletrico em uma deterninada regiăo do espaço é dada por \vec{D}= (2 x+1) y^{2} \hat{a}_{x}+2 x y(x+1) \hat{a}_{y} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}. Com base nesta informaçăo determine o fluxo que atravessa a superficie fechada definida por $-1 \leq x \leq 2 ;-2 \leq y \leq 1 \leq ;-1 \leq z \leq 3

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o campo densidade de fluxo elétrico
\vec{D}=(2x+1)\,y^{2}\,\hat{a}_{x}+2x\,y\,(x+1)\,\hat{a}_{y}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
  • A superfície fechada é a fronteira do paralelepípedo (caixa) definido por:
-1\le x\le 2,\qquad -2\le y\le 1,\qquad -1\le z\le 3.
  • Pedido: determinar o fluxo total de \vec{D} através dessa superfície fechada (fluxo total saindo da região).

Passo 2

Estratégia e a ferramenta que vamos usar (explicação didática):
  • Quando se pede o fluxo total de um campo vetorial através de uma superfície fechada, uma forma poderosa e simples é usar o Teorema da Divergência (também chamado de Teorema de Gauss). Ele diz que o fluxo de um campo vetorial \vec{D} através da superfície fechada S que envolve um volume V é igual à integral tripla, sobre o volume V, da divergência de \vec{D}:
\oiint_{S} \vec{D}\cdot d\vec{S} \;=\; \iiint_{V} \big(\nabla\cdot\vec{D}\big)\,dV.
  • O que significa cada coisa:
    • \oiint_{S} \vec{D}\cdot d\vec{S} é o fluxo total saindo da superfície S.
    • \nabla\cdot\vec{D} é a divergência de \vec{D}, definida em coordenadas cartesianas por
    \nabla\cdot\vec{D}=\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z},onde D_x,D_y,D_z são as componentes de \vec{D}.
    • dV é o elemento de volume (em coordenadas cartesianas dV=dx\,dy\,dz).
  • Por que usar o Teorema da Divergência aqui: a superfície é fechada e é uma caixa com limites constantes — a integral tripla fica muito direta, evitando ter que calcular fluxos separadamente em cada face. Então vamos calcular \nabla\cdot\vec{D} e integrar no volume.

Passo 3

Calcular a divergência \nabla\cdot\vec{D} passo a passo:
  • Identificar as componentes: D_x=(2x+1)\,y^{2},\qquad D_y=2x\,y\,(x+1),\qquad D_z=0.
  • Calcular as derivadas parciais:
    • \dfrac{\partial D_x}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\big((2x+1)y^{2}\big)=2\,y^{2}. (Aqui y é tratado como constante ao derivar em relação a x.)
    • \dfrac{\partial D_y}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(2x\,y\,(x+1)\big)=2x(x+1). (Aqui x é constante ao derivar em relação a y.)
    • \dfrac{\partial D_z}{\partial z}=0, pois D_z=0.
  • Somando: \nabla\cdot\vec{D}=2\,y^{2}+2x(x+1).

Passo 4

Escrever a integral tripla e simplificar usando os limites da caixa:
  • Pelo Teorema da Divergência: \Phi=\oiint_{S}\vec{D}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}\big(2y^{2}+2x(x+1)\big)\,dV.
  • Em coordenadas cartesianas dV=dx\,dy\,dz e os limites são independentes, então: \Phi=\int_{z=-1}^{3}\int_{x=-1}^{2}\int_{y=-2}^{1}\big(2y^{2}+2x(x+1)\big)\,dy\,dx\,dz.
  • Observação prática: a integranda não depende de z, logo a integral em z apenas multiplica pelo comprimento do intervalo em z, que é 3-(-1)=4. Podemos então calcular a integral dupla em x,y e depois multiplicar por 4: \Phi=4\int_{x=-1}^{2}\int_{y=-2}^{1}\big(2y^{2}+2x(x+1)\big)\,dy\,dx.

Passo 5

Integrar em y explicitando cada termo:
  • Separe a integral em duas partes: \int_{y=-2}^{1}\big(2y^{2}+2x(x+1)\big)\,dy =\int_{-2}^{1}2y^{2}\,dy+\int_{-2}^{1}2x(x+1)\,dy.
  • Calcular cada uma:
    • Para a primeira: \int_{-2}^{1}2y^{2}\,dy=2\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{-2}^{1} =2\left(\frac{1^{3}}{3}-\frac{(-2)^{3}}{3}\right) =2\left(\frac{1}{3}-\frac{-8}{3}\right) =2\cdot\frac{9}{3}=2\cdot 3=6.
    • Para a segunda: 2x(x+1) é constante em relação a y, então \int_{-2}^{1}2x(x+1)\,dy=2x(x+1)\cdot\big[ y\big]_{-2}^{1} =2x(x+1)\cdot(1-(-2))=2x(x+1)\cdot 3=6x(x+1).
  • Somando os dois resultados: \int_{y=-2}^{1}\big(2y^{2}+2x(x+1)\big)\,dy=6+6x(x+1)=6\big(x^{2}+x+1\big).

Passo 6

Integrar em x e multiplicar pelo comprimento em z:
  • Agora calcular \int_{x=-1}^{2}6\big(x^{2}+x+1\big)\,dx=6\left[\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+x\right]_{-1}^{2}.
  • Avaliar a primitiva em x=2: \frac{2^{3}}{3}+\frac{2^{2}}{2}+2=\frac{8}{3}+2+2=\frac{8}{3}+4=\frac{20}{3}.
  • Avaliar em x=-1: \frac{(-1)^{3}}{3}+\frac{(-1)^{2}}{2}+(-1)=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-1=-\frac{5}{6}.
  • Diferença: \left(\frac{20}{3}\right)-\left(-\frac{5}{6}\right)=\frac{20}{3}+\frac{5}{6}=\frac{45}{6}=\frac{15}{2}.
  • Multiplicando pelo fator 6: 6\cdot\frac{15}{2}=45.
  • Esse 45 é o valor da integral dupla em x,y. Multiplicando pelo fator do passo 4 (a integral em z que vale 4): \Phi=4\cdot 45=180.

Passo 7

Unidades e conclusão final:
  • Como \vec{D} tem unidades de \mathrm{C/m^{2}} e a integral de fluxo sobre uma superfície dá carga (Coulombs), o resultado é em Coulombs.
  • Portanto o fluxo total de \vec{D} através da superfície fechada é \,180\\ \mathrm{C}.

Resposta

\,180\\ \mathrm{C}

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