Na corrida entre a lebre e a tartaruga, a velocidade da lebre é de
e a da tartaruga de
. A distância a percorrer é de 600 m , e a lebre corre durante
antes de parar para uma soneca. Qual é a duração máxima da soneca para que a lebre não perca a corrida? Resolva analiticamente e graficamente.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Velocidade da lebre:
. - Velocidade da tartaruga:
. - Distância total da corrida:
. - A lebre corre inicialmente durante
antes de parar para a soneca.
O que o enunciado pede:
- Determinar a duração máxima da soneca (tempo de sono da lebre) para que a lebre não perca a corrida.
- Resolver o problema analiticamente e também explicar como resolver graficamente.
Observações de unidades (peguei a distância e converti para km, e o tempo de 0,5 min deve ser convertido para horas quando for usar velocidades em
):
Passo 2
Estratégia analítica e conceitos usados (explicadinho): quando um móvel tem velocidade constante, a relação entre distância percorrida
, velocidade
e tempo
é
ou equivalentemente
Vou aplicar isso para cada atleta. A ideia é: a tartaruga, andando sempre com velocidade constante, leva um tempo fixo para percorrer
. A lebre tem um movimento em três etapas (corre, dorme, corre de novo). Para que a lebre não perca, o tempo total dela até completar
tem que ser menor ou igual ao tempo da tartaruga.
Passo a passo das contas (sem pular etapas):
- Calcular o tempo de corrida inicial da lebre em horas:
- Distância que a lebre percorre nesse primeiro trecho (usar
):
Interpretação: em
a lebre já percorreu
.
- Distância restante para a lebre completar a corrida:
- Tempo que a lebre precisa para percorrer essa distância restante quando voltar a correr (velocidade
):
Convertendo para minutos:
(ou
). Observação prática:
era
e
é
, então os tempos de corrida da lebre sem contar a soneca somam
.
- Tempo que a tartaruga leva para percorrer toda a distância
(velocidade constante):
Converter para minutos:
. Então a tartaruga termina a corrida em
após a largada.
- Agora escrevemos o tempo total da lebre até terminar, em função do tempo de soneca
(em horas):
Para a lebre não perder, precisamos ter
A duração máxima da soneca
ocorre quando a lebre empata com a tartaruga, ou seja quando
. Então
- Calcular numericamente. Primeiro somar
:
Comentário: ficou bonito e simples — os tempos de corrida da lebre (antes e depois da soneca) somam exatamente
, ou seja
.
Agora
- Converter
para unidades mais amigas:
- Em minutos:
. - Em horas, minutos e segundos:
. Como , temos . E . Portanto
Interpretação final (analítica): a lebre pode dormir até
(ou
, ou
) e ainda empatar com a tartaruga; se dormir mais que isso, ela perde.
Passo 3
Como resolver graficamente (passo a passo para desenhar o gráfico e “ver” a resposta):
-
Eixos e unidades: desenhar um gráfico com eixo horizontal tempo
(em horas ou minutos) e eixo vertical distância (em km ou m). Eu sugiro usar minutos no eixo do tempo para ficar mais intuitivo: o intervalo de interesse vai de até (quando a tartaruga termina). -
Função da tartaruga (reta): a tartaruga anda com velocidade constante
. Em km por minuto, isso é . A equação em horas é simples:
No gráfico é uma reta que parte da origem e chega em
quando
.
- Função da lebre (peça por peça): a lebre tem movimento em três trechos:
- Para
( ): reta inclinada com declive grande, dado por (se em horas) ou (se em minutos, porque ). No a lebre atinge . - Para
: segmento horizontal em (a lebre está parada durante o sono). - Para
: novamente reta inclinada com mesma declividade do primeiro trecho, começando em no tempo , até atingir .
-
Como determinar graficamente
: variar a duração do segmento horizontal (a soneca) até que a ordenada (tempo) em que a linha inclinada final da lebre atinge coincida com o ponto onde a reta da tartaruga atinge (ou seja ). Em outras palavras, ajustar a largura do bloco horizontal para que o ponto final da lebre caia exatamente sobre o ponto final da tartaruga. O valor dessa largura horizontal é o (em minutos, com os valores que calculamos: ). -
Pontos chave para marcar no gráfico (valores numéricos para plotar):
- Ponto da lebre após corrida inicial:
. - Ponto final da corrida da tartaruga:
. - Duração do trecho final da lebre (quando volta a correr):
. Portanto, se a soneca durar minutos, a lebre terminará em tempo minutos. Para empatar com a tartaruga, queremos . Isso leva a , que é exatamente o valor encontrado analiticamente.
Resumo gráfico: a reta da tartaruga é uma linha suave e lenta até
. A trajetória da lebre é uma subida rápida até
, uma reta horizontal (soneca) e outra subida rápida. Ajustando a largura horizontal para que a subida final atinja
exatamente em
dá o máximo da soneca.