Na corrida entre a lebre e a tartaruga, a velocidade da lebre é de 30 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e a da tartaruga de 0,5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. A distância a percorrer é de 600 m , e a lebre corre durante 0,5 \mathrm{~min} antes de parar para uma soneca. Qual é a duração máxima da soneca para que a lebre não perca a corrida? Resolva analiticamente e graficamente.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Velocidade da lebre: \,v_L=30\\ \mathrm{km/h}.
  • Velocidade da tartaruga: \,v_T=0,5\\ \mathrm{km/h}.
  • Distância total da corrida: \,D=600\\ \mathrm{m} = 0,6\\ \mathrm{km}.
  • A lebre corre inicialmente durante \,0,5\\ \mathrm{min} antes de parar para a soneca.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a duração máxima da soneca (tempo de sono da lebre) para que a lebre não perca a corrida.
  • Resolver o problema analiticamente e também explicar como resolver graficamente.
Observações de unidades (peguei a distância e converti para km, e o tempo de 0,5 min deve ser convertido para horas quando for usar velocidades em \mathrm{km/h}):
  • \,0,5\\ \mathrm{min} = \dfrac{0,5}{60}\\ \mathrm{h} = \dfrac{1}{120}\\ \mathrm{h}.

Passo 2

Estratégia analítica e conceitos usados (explicadinho): quando um móvel tem velocidade constante, a relação entre distância percorrida s, velocidade v e tempo t é
s = v\,t,
ou equivalentemente
t = \frac{s}{v}.
Vou aplicar isso para cada atleta. A ideia é: a tartaruga, andando sempre com velocidade constante, leva um tempo fixo para percorrer D. A lebre tem um movimento em três etapas (corre, dorme, corre de novo). Para que a lebre não perca, o tempo total dela até completar D tem que ser menor ou igual ao tempo da tartaruga.
Passo a passo das contas (sem pular etapas):
  1. Calcular o tempo de corrida inicial da lebre em horas:
t_1=\dfrac{1}{120}\\ \mathrm{h}.
  1. Distância que a lebre percorre nesse primeiro trecho (usar s=v\,t):
s_1 = v_L\,t_1 = 30\cdot \dfrac{1}{120} = \dfrac{30}{120} = \dfrac{1}{4}\\ \mathrm{km} = 0,25\\ \mathrm{km}.
Interpretação: em \,0,5\\ \mathrm{min} a lebre já percorreu 250\\ \mathrm{m}.
  1. Distância restante para a lebre completar a corrida:
s_{\text{rest}} = D - s_1 = 0,6 - 0,25 = 0,35\\ \mathrm{km}.
  1. Tempo que a lebre precisa para percorrer essa distância restante quando voltar a correr (velocidade v_L):
t_2 = \frac{s_{\text{rest}}}{v_L} = \frac{0,35}{30} = \frac{35}{3000} = \frac{7}{600}\\ \mathrm{h}.
Convertendo para minutos: t_2 = \dfrac{7}{600}\cdot 60 = 0,7\\ \mathrm{min} (ou 42\\ \mathrm{s}). Observação prática: t_1 era 0,5\\ \mathrm{min} e t_2 é 0,7\\ \mathrm{min}, então os tempos de corrida da lebre sem contar a soneca somam 1,2\\ \mathrm{min}.
  1. Tempo que a tartaruga leva para percorrer toda a distância D (velocidade constante):
T_T = \frac{D}{v_T} = \frac{0,6}{0,5} = 1,2\\ \mathrm{h}.
Converter para minutos: 1,2\\ \mathrm{h}\cdot 60 = 72\\ \mathrm{min}. Então a tartaruga termina a corrida em 72\\ \mathrm{min} após a largada.
  1. Agora escrevemos o tempo total da lebre até terminar, em função do tempo de soneca t_s (em horas):
T_L = t_1 + t_s + t_2.
Para a lebre não perder, precisamos ter
T_L \le T_T.
A duração máxima da soneca t_{s,\max} ocorre quando a lebre empata com a tartaruga, ou seja quando T_L = T_T. Então
t_{s,\max} = T_T - t_1 - t_2.
  1. Calcular numericamente. Primeiro somar t_1+t_2:
t_1 + t_2 = \frac{1}{120} + \frac{7}{600} = \frac{5}{600} + \frac{7}{600} = \frac{12}{600} = \frac{1}{50}\\ \mathrm{h} = 0,02\\ \mathrm{h}.
Comentário: ficou bonito e simples — os tempos de corrida da lebre (antes e depois da soneca) somam exatamente 0,02\\ \mathrm{h}, ou seja 1,2\\ \mathrm{min}.
Agora
t_{s,\max} = 1,2 - 0,02 = 1,18\\ \mathrm{h}.
  1. Converter t_{s,\max} para unidades mais amigas:
  • Em minutos: 1,18\\ \mathrm{h}\cdot 60 = 70,8\\ \mathrm{min}.
  • Em horas, minutos e segundos: 1\\ \mathrm{h} + 0,18\\ \mathrm{h}. Como 0,18\\ \mathrm{h}\cdot 60 = 10,8\\ \mathrm{min}, temos 1\\ \mathrm{h}\\\ 10{,}8\\ \mathrm{min}. E 0{,}8\\ \mathrm{min}\cdot 60 = 48\\ \mathrm{s}. Portanto
t_{s,\max} = 1\\ \mathrm{h}\\\ 10\\ \mathrm{min}\\\ 48\\ \mathrm{s}.
Interpretação final (analítica): a lebre pode dormir até 1,18\\ \mathrm{h} (ou 70,8\\ \mathrm{min}, ou 1\\ \mathrm{h}\\\ 10\\ \mathrm{min}\\\ 48\\ \mathrm{s}) e ainda empatar com a tartaruga; se dormir mais que isso, ela perde.

Passo 3

Como resolver graficamente (passo a passo para desenhar o gráfico e “ver” a resposta):
  1. Eixos e unidades: desenhar um gráfico com eixo horizontal tempo t (em horas ou minutos) e eixo vertical distância s (em km ou m). Eu sugiro usar minutos no eixo do tempo para ficar mais intuitivo: o intervalo de interesse vai de 0 até 72\\ \mathrm{min} (quando a tartaruga termina).
  2. Função da tartaruga (reta): a tartaruga anda com velocidade constante \,v_T=0,5\\ \mathrm{km/h}. Em km por minuto, isso é \dfrac{0,5}{60}=0,008333\ldots\\ \mathrm{km/min}. A equação em horas é simples:
s_T(t)=v_T\,t.
No gráfico é uma reta que parte da origem e chega em s=0,6\\ \mathrm{km} quando t=72\\ \mathrm{min}.
  1. Função da lebre (peça por peça): a lebre tem movimento em três trechos:
  • Para 0\le t\le t_1 ( t_1=0,5\\ \mathrm{min}): reta inclinada com declive grande, dado por s_L(t)=30\,t (se t em horas) ou s_L(t)=0{,}5\\ t (se t em minutos, porque 30\\ \mathrm{km/h} = 0{,}5\\ \mathrm{km/min}). No t=t_1 a lebre atinge s=0,25\\ \mathrm{km}.
  • Para t_1<t\le t_1+t_s: segmento horizontal em s=0,25\\ \mathrm{km} (a lebre está parada durante o sono).
  • Para t>t_1+t_s: novamente reta inclinada com mesma declividade do primeiro trecho, começando em s=0,25\\ \mathrm{km} no tempo t=t_1+t_s, até atingir s=0,6\\ \mathrm{km}.
  1. Como determinar graficamente t_{s,\max}: variar a duração do segmento horizontal (a soneca) até que a ordenada (tempo) em que a linha inclinada final da lebre atinge s=0,6\\ \mathrm{km} coincida com o ponto onde a reta da tartaruga atinge s=0,6\\ \mathrm{km} (ou seja t=72\\ \mathrm{min}). Em outras palavras, ajustar a largura do bloco horizontal para que o ponto final da lebre caia exatamente sobre o ponto final da tartaruga. O valor dessa largura horizontal é o t_{s,\max} (em minutos, com os valores que calculamos: 70,8\\ \mathrm{min}).
  2. Pontos chave para marcar no gráfico (valores numéricos para plotar):
  • Ponto da lebre após corrida inicial: (t_1,s_1) = (0{,}5\\ \mathrm{min},\\\ 0{,}25\\ \mathrm{km}).
  • Ponto final da corrida da tartaruga: (72\\ \mathrm{min},\\\ 0{,}6\\ \mathrm{km}).
  • Duração do trecho final da lebre (quando volta a correr): t_2 = 0{,}7\\ \mathrm{min}. Portanto, se a soneca durar x minutos, a lebre terminará em tempo 0{,}5 + x + 0{,}7 minutos. Para empatar com a tartaruga, queremos 0{,}5 + x + 0{,}7 = 72. Isso leva a x=72 - 1{,}2 = 70{,}8\\ \mathrm{min}, que é exatamente o valor encontrado analiticamente.
Resumo gráfico: a reta da tartaruga é uma linha suave e lenta até 72\\ \mathrm{min}. A trajetória da lebre é uma subida rápida até 0{,}25\\ \mathrm{km}, uma reta horizontal (soneca) e outra subida rápida. Ajustando a largura horizontal para que a subida final atinja 0{,}6\\ \mathrm{km} exatamente em 72\\ \mathrm{min} dá o máximo da soneca.

Resposta

t_{s,\max}=1{,}18\\ \mathrm{h}=70{,}8\\ \mathrm{min}=1\\ \mathrm{h}\\\ 10\\ \mathrm{min}\\\ 48\\ \mathrm{s}

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