(a) Encontre o campo elétrico gerado por um dipolo elétrico em um ponto P sobre o eixo y que passa por elas. As cargas são separadas por uma distância d e considere a distância do centro do dipolo ao ponto P como y \gg d. Use a série binominal (1+x)^{n}, ou seja, (1+x)^{n} \cong 1+n x+ (n-1) x^{2} / 2+\cdots, para o caso |x|<1. (b) Usando o mesmo raciocínio, encontre o campo elétrico produzido pelo dipolo em um ponto P sobre a mediatriz, ou seja, sobre o eixo x. Qual a direção e o sentido do campo elétrico nesse caso?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo pego do enunciado).
  • Tem um dipolo elétrico formado por duas cargas +q e -q separadas por uma distância d. Coloca-se o centro do dipolo na origem.
  • As cargas estão sobre o eixo y: tomo +q em y=+a e -q em y=-a, com a=d/2.
  • Pede-se:
    (a) o campo elétrico em um ponto P sobre o próprio eixo y que passa pelas cargas (ou seja, P está em (0,y) com y\gg d);
    (b) o campo elétrico em um ponto P sobre a mediatriz (o eixo x), isto é, em (x,0) com x\gg d, e qual a direção/sentido desse campo.
  • Informação pedida: usar a série/binomial (1+x)^n\approx 1+n x+\dfrac{n(n-1)}{2}x^2+\cdots para |x|<1 quando for necessário fazer aproximações para y\gg d ou x\gg d.

Passo 2

Defino constantes e notação úteis (explico cada símbolo):
  • Constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} (a constante de Coulomb).
  • Distância das cargas ao centro: a=\dfrac{d}{2}.
  • Momento dipolar: \vec p=q\,\vec d. Como o dipolo está ao longo de y e a distância entre cargas é d, escolho \vec p= q d\,\hat y (direção do vetor que aponta do negativo para o positivo).
    Vou agora calcular o campo no eixo y (parte (a)).

Passo 3

Campo no ponto P=(0,y) (com y>0 e y\gg d) devido às duas cargas:
  • Campo devido a +q em y=+a: a distância escalar até P é r_+=y-a. O campo apontará para longe da carga positiva (para +\hat y) e tem magnitude k\displaystyle\frac{q}{(y-a)^2}. Portanto
\vec E_+ = k\frac{q}{(y-a)^2}\,\hat y.
  • Campo devido a -q em y=-a: a distância até P é r_-=y+a. O campo criado por carga negativa aponta em direção à carga (para -\hat y no ponto y>0), com magnitude k\displaystyle\frac{q}{(y+a)^2}. Assim
\vec E_- = -\,k\frac{q}{(y+a)^2}\,\hat y.
Soma vetorial (ambos ao longo de \hat y):
\vec E(y)=\vec E_++\vec E_- = kq\!\left(\frac{1}{(y-a)^2}-\frac{1}{(y+a)^2}\right)\!\hat y.

Passo 4

Agora faço a expansão para y\gg a usando a série binomial. Escrevo cada termo como múltiplo de y^{-2}:
\frac{1}{(y\pm a)^2}=\frac{1}{y^{2}}\left(1\pm\frac{a}{y}\right)^{-2}.
Usando (1+X)^{-2}\approx 1-2X+3X^2+\cdots (aqui n=-2), obtemos
\frac{1}{(y-a)^2}=\frac{1}{y^{2}}\Big(1+2\frac{a}{y}+3\frac{a^{2}}{y^{2}}+\cdots\Big), \qquad \frac{1}{(y+a)^2}=\frac{1}{y^{2}}\Big(1-2\frac{a}{y}+3\frac{a^{2}}{y^{2}}+\cdots\Big).
Subtraindo:
\frac{1}{(y-a)^2}-\frac{1}{(y+a)^2}=\frac{1}{y^{2}}\Big(4\frac{a}{y}+\cdots\Big)=\frac{4a}{y^{3}}+\text{ord}\!\left(\frac{a^{3}}{y^{5}}\right).
Substituindo na expressão de \vec E(y):
\vec E(y)=kq\frac{4a}{y^{3}}\,\hat y.
Lembrando a=d/2, temos 4a=2d. Usando \vec p=q d\,\hat y, escrevo o resultado em termos de \vec p:
\boxed{\displaystyle \vec E_{\text{eixo}}(y)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{2\vec p}{y^{3}}\quad(\text{válido para }y\gg d).}á
Interpretação rápida: no lado onde está a carga positiva ( y>0 se +q estiver em +a), o campo aponta no mesmo sentido de \vec p (ou seja, para +\hat y neste caso).

Passo 5

Agora passo para a parte (b): ponto P na mediatriz, ou seja no eixo x em P=(x,0) com x\gg d.
Posições das cargas: +q em (0,a), -q em (0,-a).
Campo de cada carga (vetorial): para uma carga no ponto (0,\pm a) até P=(x,0) o vetor deslocamento é (x,\mp a). Então, sem aproximação,
\vec E_+ = kq\frac{(x,-a)}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}},\qquad \vec E_- = -\,kq\frac{(x,+a)}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}.
Somando:
\vec E(x)=\vec E_++\vec E_- = kq\frac{(x,-a)-(x,+a)}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}} = kq\frac{(0,-2a)}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}.
Logo o campo resultante é puramente na direção \hat y (não há componente em \hat x):
\vec E(x) = -\,\frac{2kqa}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}\,\hat y.
A direção negativa de \hat y significa: o campo aponta em direção ao lado do dipolo onde está a carga negativa (ou seja, para -\hat y se -q estiver em y=-a).

Passo 6

Faço a aproximação para x\gg a (usar binomial novamente). Escrevo
(x^{2}+a^{2})^{3/2}=x^{3}\left(1+\frac{a^{2}}{x^{2}}\right)^{3/2}.
Com (1+u)^{3/2}\approx 1+\tfrac{3}{2}u+\cdots para |u|<1, o termo principal é x^{3}. Assim, ao primeiro ordem em a/x,
\vec E(x)\approx -\,\frac{2kqa}{x^{3}}\,\hat y.
Substituo a=d/2 e p=qd (logo q a = p/2):
-\,\frac{2kqa}{x^{3}}=-\,\frac{2k}{x^{3}}\cdot\frac{p}{2}=-\,\frac{k p}{x^{3}}.
Portanto, escrevendo em termos de \vec p,
\boxed{\displaystyle \vec E_{\text{mediatriz}}(x)=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\vec p}{x^{3}}\quad(\text{válido para }x\gg d).}á
A seta negativa indica que o campo está apontando no sentido oposto ao vetor \vec p. Ou seja, no ponto da mediatriz o campo é perpendicular ao eixo do dipolo e aponta em direção à carga negativa.

Passo 7

Resumo físico e intuição curta (sem cálculos):
  • No eixo do dipolo (caso axial), os campos das duas cargas não se cancelam, e o termo dominante decai como 1/y^{3}. O campo axial é proporcional a 2\vec p/y^{3} e aponta no sentido de \vec p (lado do dipolo com carga positiva).
  • Na mediatriz (perpendicular ao dipolo passando pelo centro), as componentes horizontais se cancelam por simetria e sobram só as componentes verticais que somam apontando para a carga negativa; o campo decai como 1/x^{3} e vale -\vec p/(4\pi\varepsilon_0 x^{3}).

Resposta

(a) \displaystyle \vec E_{\text{eixo}}(y)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{2\vec p}{y^{3}} (para y\gg d); o campo aponta no sentido de \vec p.\n
(b) \displaystyle \vec E_{\text{mediatriz}}(x)=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\vec p}{x^{3}} (para x\gg d); o campo é perpendicular ao eixo do dipolo, apontando em direção à carga negativa (sentido oposto a \vec p).

Exercícios relacionados