(a) Encontre o campo elétrico gerado por um dipolo elétrico em um ponto
sobre o eixo y que passa por elas. As cargas são separadas por uma distância d e considere a distância do centro do dipolo ao ponto
como
. Use a série binominal
, ou seja,
, para o caso
. (b) Usando o mesmo raciocínio, encontre o campo elétrico produzido pelo dipolo em um ponto P sobre a mediatriz, ou seja, sobre o eixo
. Qual a direção e o sentido do campo elétrico nesse caso?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo pego do enunciado).
- Tem um dipolo elétrico formado por duas cargas
e separadas por uma distância . Coloca-se o centro do dipolo na origem. - As cargas estão sobre o eixo
: tomo em e em , com . - Pede-se:
(a) o campo elétrico em um pontosobre o próprio eixo que passa pelas cargas (ou seja, está em com );
(b) o campo elétrico em um pontosobre a mediatriz (o eixo ), isto é, em com , e qual a direção/sentido desse campo. - Informação pedida: usar a série/binomial
para quando for necessário fazer aproximações para ou .
Passo 2
Defino constantes e notação úteis (explico cada símbolo):
- Constante
(a constante de Coulomb). - Distância das cargas ao centro:
. - Momento dipolar:
. Como o dipolo está ao longo de e a distância entre cargas é , escolho (direção do vetor que aponta do negativo para o positivo).
Vou agora calcular o campo no eixo(parte (a)).
Passo 3
Campo no ponto
(com
e
) devido às duas cargas:
- Campo devido a
em : a distância escalar até é . O campo apontará para longe da carga positiva (para ) e tem magnitude . Portanto
- Campo devido a
em : a distância até é . O campo criado por carga negativa aponta em direção à carga (para no ponto ), com magnitude . Assim
Soma vetorial (ambos ao longo de
):
Passo 4
Agora faço a expansão para
usando a série binomial. Escrevo cada termo como múltiplo de
:
Usando
(aqui
), obtemos
Subtraindo:
Substituindo na expressão de
:
Lembrando
, temos
. Usando
, escrevo o resultado em termos de
:
Interpretação rápida: no lado onde está a carga positiva (
se
estiver em
), o campo aponta no mesmo sentido de
(ou seja, para
neste caso).
Passo 5
Agora passo para a parte (b): ponto
na mediatriz, ou seja no eixo
em
com
.
Posições das cargas: em
,
em
.
Campo de cada carga (vetorial): para uma carga no ponto até
o vetor deslocamento é
. Então, sem aproximação,
Posições das cargas:
Campo de cada carga (vetorial): para uma carga no ponto
Somando:
Logo o campo resultante é puramente na direção
(não há componente em
):
A direção negativa de
significa: o campo aponta em direção ao lado do dipolo onde está a carga negativa (ou seja, para
se
estiver em
).
Passo 6
Faço a aproximação para
(usar binomial novamente). Escrevo
Com
para
, o termo principal é
. Assim, ao primeiro ordem em
,
Substituo
e
(logo
):
Portanto, escrevendo em termos de
,
A seta negativa indica que o campo está apontando no sentido oposto ao vetor
. Ou seja, no ponto da mediatriz o campo é perpendicular ao eixo do dipolo e aponta em direção à carga negativa.
Passo 7
Resumo físico e intuição curta (sem cálculos):
- No eixo do dipolo (caso axial), os campos das duas cargas não se cancelam, e o termo dominante decai como
. O campo axial é proporcional a e aponta no sentido de (lado do dipolo com carga positiva). - Na mediatriz (perpendicular ao dipolo passando pelo centro), as componentes horizontais se cancelam por simetria e sobram só as componentes verticais que somam apontando para a carga negativa; o campo decai como
e vale .
Resposta
(a)
(para
); o campo aponta no sentido de
.\n
(b) (para
); o campo é perpendicular ao eixo do dipolo, apontando em direção à carga negativa (sentido oposto a
).
(b)