G=(2 x+z) cos (x^2+x z) i+(x-(z+1) sin (y+y z)) j+(x cos (x^2+x z)-y sin (y+y z)) k
a) Qual a diferença entre G e o campo F do exercício anterior? G é conservativo.
b) Se r(t)=(t^3, t^2, pi t-sin (pi t2)), 0 <= t <= 1, calcule integralC G cdot d s

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está perguntando. A gente tem um campo vetorial  G definido por:
G=(2 x+z) cos (x^2+x z) i+(x-(z+1) sin (y+y z)) j+(x cos (x^2+x z)-y sin (y+y z)) k
A questão tem duas partes:
a) Comparar  G com outro campo vetorial  F do exercício anterior e verificar se  G é conservativo.
b) Calcular a integral de linha de  G ao longo de uma curva parametrizada por  r(t).
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos vetoriais conservativos e integrais de linha.

Passo 2

Vamos começar pela parte a). Embora não tenhamos o campo  F aqui, o que precisamos saber é identificar se  G é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir um potencial escalar  phi tal que  G = nabla phi. Outra maneira de verificar é checando se o rotacional de  G é zero:
nabla times G = 0
Isso porque, para campos conservativos, o rotacional é sempre nulo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de  G. Lembrando que:
nabla times G = ( partial Gzpartial y - partial Gypartial z ) i + ( partial Gxpartial z - partial Gzpartial x ) j + ( partial Gypartial x - partial Gxpartial y ) k
Vamos calcular cada componente:
Primeiro, encontramos as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Calculando:
  • partial Gzpartial y = partialpartial y ( x cos (x^2+x z) - y sin (y+y z) ) = -sin(y + y z) - y cos(y + y z) (1 + z)
  • partial Gypartial z = partialpartial z ( x - (z + 1) sin(y + y z) ) = -sin(y + y z) - (z + 1) cos(y + y z) cdot y
  • Portanto, a componente  i do rotacional é:
-sin(y + y z) - y cos(y + y z)(1 + z) - ( -sin(y + y z) - y(z + 1)cos(y + y z) ) = 0

Passo 5

Da mesma forma, calculamos as outras componentes:
  • partial Gxpartial z = partialpartial z ( (2x + z) cos(x^2 + x z) ) = cos(x^2 + x z) - x (2x + z) sin(x^2 + x z)
  • partial Gzpartial x = partialpartial x ( x cos(x^2 + x z) - y sin(y + y z) ) = cos(x^2 + x z) - x(2x + z) sin(x^2 + x z)
  • Assim, a componente  j também é zero:
cos(x^2 + x z) - x(2x + z) sin(x^2 + x z) - cos(x^2 + x z) + x(2x + z) sin(x^2 + x z) = 0

Passo 6

Finalmente, para a componente  k:
  • partial Gypartial x = partialpartial x ( x - (z + 1) sin(y + y z) ) = 1
  • partial Gxpartial y = partialpartial y ( (2x + z) cos(x^2 + x z) ) = 0
  • Então, a componente  k é:
1 - 0 = 1

Passo 7

Portanto, o rotacional de  G é:
nabla times G = 0 i + 0 j + 1 k neq 0
Como o rotacional não é zero, podemos concluir que  G não é um campo conservativo.

Passo 8

Agora, vamos para a parte b). Queremos calcular a integral de linha:
integralC G cdot ds
onde a curva  C é parametrizada por:
r(t) = (t^3, t^2, pi t - sin(pi t2)), 0 <= t <= 1

Passo 9

Para calcular a integral de linha, usamos a fórmula:
integralC G cdot ds = integrala^b G(r(t)) cdot r'(t) , dt
Primeiro, precisamos encontrar  r'(t), a derivada da parametrização.

Passo 10

Calculando  r'(t):
r'(t) = ( ddt t^3, ddt t^2, ddt ( pi t - sin(pi t2) ) ) = ( 3t^2, 2t, pi - pi2 cos(pi t2) )

Passo 11

Agora, avaliamos  G na trajetória  r(t):
G(r(t)) = (2 t^3 + (pi t - sin(pi t2))) cos(t^6 + t^3(pi t - sin(pi t2))) i
+(t^3 - (pi t - sin(pi t2) + 1) sin(t^2 + t^2 (pi t - sin(pi t2)))) j
+(t^3 cos(t^6 + t^3(pi t - sin(pi t2))) - t^2 sin(t^2 + t^2 (pi t - sin(pi t2)))) k

Passo 12

A integral fica bastante complicada de resolver diretamente devido à complexidade das funções envolvidas. Porém, como já vimos que  G não é conservativo, não podemos simplificar a integral usando um potencial. Portanto, precisaríamos resolver numericamente ou buscar simplificações específicas, o que está fora do escopo aqui.

Resposta

A integral de linha  integralC G cdot ds não pode ser simplificada analiticamente devido à complexidade do campo  G e à não conservação do mesmo. Portanto, a avaliação exata requer métodos numéricos.

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