Dê o termo de ordem n das sequências abaixo e verifique quais sequências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem (n+1).
(f) (2, 2^21 cdot 2, 2^31 cdot 2 cdot 3, 2^41 cdot 2 cdot 3 cdots 4, 2^51 cdot 2 cdot 3 cdots 5, cdots)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência de termos que seguem um padrão específico. O enunciado pede para a gente identificar o termo geral de ordem , verificar se a sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de algum número conforme cresce), encontrar esse limite caso exista, e também escrever o termo de ordem . Para resolver isso, vamos precisar entender de sequências, limites e fatoriais na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o padrão da sequência apresentada:
(2, 2^21 cdot 2, 2^31 cdot 2 cdot 3, 2^41 cdot 2 cdot 3 cdots 4, 2^51 cdot 2 cdot 3 cdots 5, cdots)
Observamos que cada termo pode ser escrito como , onde (fatorial de ) é o produto de todos os números inteiros de 1 até .

Passo 3

Então, o termo geral de ordem an = 2^nn! da sequência é:

Passo 4

Agora, vamos verificar se a sequência converge. Para isso, analisamos o limite de limn to infty 2^nn! quando tende ao infinito:
Sabemos que o fatorial cresce muito mais r��pido que uma exponencial. De fato, cresce super-exponencialmente, o que faz com que o limite seja zero.

Passo 5

Portanto, a sequência limn to infty an = 0 converge, e o limite é:

Passo 6

Finalmente, vamos escrever o termo de ordem an+1 = 2^n+1(n+1)! :

Resposta

O termo de ordem da sequência é . A sequência converge para o limite . O termo de ordem é .

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