O enunciado dá \omega = \cos\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) + i\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr), que é uma raiz primitiva de unidade de ordem 3, isto é,
Observamos que essa matriz é uma matriz circulante de primeira linha (1,\;\omega^n,\;\omega^{2n}). A fórmula geral do determinante de uma matriz circulante C de ordem 3 com primeira linha (c_0,c_1,c_2) é
\det C \;=\;\prod_{j=0}^{2}\bigl(c_0 + c_1\lambda_j + c_2\lambda_j^2\bigr),
onde \lambda_0=1, \lambda_1=\omega, \lambda_2=\omega^2.
Passo 3
No nosso caso c_0=1, c_1=\omega^n, c_2=\omega^{2n}. Logo
Como \omega^3=1\), para inteiro \(k\) vale
\[S(k)= \begin{cases} 3, &\text{se \(k\equiv 0\pmod 3},\ 0, &se k\not\equiv0\pmod 3. \end{cases}]
Os três fatores em D_n são S(n), S(n+1) e S(n+2). Entre três números consecutivos n,n+1,n+2, apenas um deles é múltiplo de 3, os outros dois não são. Assim pelo menos um dos S(n+j) é zero, impondo