Se ω=cos \left(\frac{2 π}{3}\right)+i sin \left(\frac{2 π}{3}\right), calcule:
\left|\begin{array}{rcr}1 & ω^{n} & ω^{2 n} \\ω^{n} & ω^{2 n} & 1 \\ω^{2 n} & 1 & ω^{n}\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado dá \omega = \cos\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) + i\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr), que é uma raiz primitiva de unidade de ordem 3, isto é,
\omega^3 = 1 \quad\text{e}\quad 1 + \omega + \omega^2 = 0.
Precisamos calcular o determinante
D_n = \begin{vmatrix} 1 & \omega^n & \omega^{2n} \\[6pt] \omega^n & \omega^{2n} & 1 \\[6pt] \omega^{2n} & 1 & \omega^n \end{vmatrix}.]

Passo 2

Observamos que essa matriz é uma matriz circulante de primeira linha (1,\;\omega^n,\;\omega^{2n}). A fórmula geral do determinante de uma matriz circulante C de ordem 3 com primeira linha (c_0,c_1,c_2) é
\det C \;=\;\prod_{j=0}^{2}\bigl(c_0 + c_1\lambda_j + c_2\lambda_j^2\bigr),
onde \lambda_0=1, \lambda_1=\omega, \lambda_2=\omega^2.

Passo 3

No nosso caso c_0=1, c_1=\omega^n, c_2=\omega^{2n}. Logo
D_n = \bigl(1 + \omega^n + \omega^{2n}\bigr) \bigl(1 + \omega^n\omega + \omega^{2n}\omega^2\bigr) \bigl(1 + \omega^n\omega^2 + \omega^{2n}\omega\bigr).
Em cada fator aparece a soma
S(k) \;=\; 1 + \omega^k + \omega^{2k}.

Passo 4

Como \omega^3=1\), para inteiro \(k\) vale \[S(k)= \begin{cases} 3, &\text{se \(k\equiv 0\pmod 3},\ 0, &se k\not\equiv0\pmod 3. \end{cases}]
Os três fatores em D_n são S(n), S(n+1) e S(n+2). Entre três números consecutivos n,n+1,n+2, apenas um deles é múltiplo de 3, os outros dois não são. Assim pelo menos um dos S(n+j) é zero, impondo
D_n = 0.

Resposta

0

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