\cos ^{2} \theta=\frac{1}{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
\cos^{2}\theta=\frac{1}{3}
A pergunta implícita (que vou resolver sem te perguntar nada) é: encontrar todos os valores reais de \theta que satisfazem essa igualdade. Informações relevantes dadas:
\cos^{2}\theta=\frac{1}{3}.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: tomar raiz quadrada em ambos os lados. Lembre que ao tirar raiz de uma equação com quadrado precisamos considerar os dois sinais (positivo e negativo). Assim obtemos:
\cos\theta=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.
Explicando: se \cos^{2}\theta=a e a\ge0, então \cos\theta=\sqrt{a} ou \cos\theta=-\sqrt{a}. Aqui \sqrt{1/3}=1/\sqrt{3}.

Passo 3

Vamos tratar os dois casos separadamente. Para organizar, defino o ângulo
\alpha=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right),
onde \alpha é o ângulo principal em [0,\pi] tal que \cos\alpha=1/\sqrt{3}. É útil obter uma expressão alternativa para \alpha. Calculamos \sin\alpha a partir da identidade pitagórica:
\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.
Logo o \tan desse ângulo é
\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{\sqrt{6}/3}{1/\sqrt{3}}=\sqrt{2}.
Portanto
\alpha=\arctan(\sqrt{2}).
Essa forma \alpha=\arctan(\sqrt{2}) é só mais prática para interpretação; ambas são equivalentes.

Passo 4

Soluções do caso \cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. A função cosseno é par e periódica de período 2\pi. As soluções gerais para \cos\theta=c com c\in[-1,1] são
\theta=\pm\operatorname{arccos}\text{(c)}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Aplicando com c=1/\sqrt{3} e usando \alpha definido acima, obtemos:
\theta=\pm\alpha+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Isso corresponde, no intervalo [0,2\pi), aos dois ângulos \alpha e 2\pi-\alpha.

Passo 5

Soluções do caso \cos\theta=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Note que \cos(\pi\pm\alpha)=-\cos\alpha=-1/\sqrt{3}. Logo as soluções gerais desse caso são
\theta=\pi\pm\alpha+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
No intervalo [0,2\pi) esses correspondem a \pi-\alpha e \pi+\alpha.

Passo 6

Resumo das quatro famílias de soluções (todas as soluções reais vêm destas quatro):
\theta=\pm\alpha+2k\pi\quad\text{e}\quad\theta=\pi\pm\alpha+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
onde \alpha=\operatorname{arccos}(1/\sqrt{3})=\arctan(\sqrt{2}).
Se quiser valores numéricos aproximados (úteis para conferir na prova sem muita conta), temos
\alpha\approx0{,}9553166\\ \text{rad}\approx54{,}7356^\circ,
e as soluções em [0,2\pi) são aproximadamente
0{,}9553,\quad 2{,}1863,\quad 4{,}0969,\quad 5{,}3279\\ (\text{radianos}).
Você pode verificar substituindo qualquer uma dessas em \cos^{2}\theta e confirmando que dá 1/3.

Resposta

\displaystyle \theta=\pm\arctan(\sqrt{2})+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}
\displaystyle \theta=\pi\pm\arctan(\sqrt{2})+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}

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