Um aterro de 3 m de altura e үnat igual a 16,4 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3} foi construído sobre uma camada de argila saturada, normalmente adensada, com 5 m de espessura, não-drenada na base. 0 índice de vazios da camada de argila é igual a 0,8 e seu peso específico saturado é igual a 18,6 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}. O coeficiente de adensamento, o índice de compressão e o índice de compressão secundário da argila são iguais, respectivamente, \mathrm{a} \mathrm{cv}=0,0029 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}, \mathrm{Cc}=0,28 e \mathrm{Ca}=0,02. Calcule o recalque
total que o aterro sofrerá devido aos adensamentos primário e secundário da camada de argila, 10 anos após o fim do adensamento primário ( \mathrm{P}=95 \% ).

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o recalque total (adensamento primário + secundário) que a camada de argila de espessura 5\\ \mathrm{m} sofrerá, medido 10 anos após o fim do adensamento primário (assumido o fim quando P=95\%).
Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente, sem nada faltando):
\begin{aligned} &\text{Altura do aterro:}& &h_{aterro}=3\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Peso específico do aterro:}& &\gamma_{aterro}=16,4\\ \mathrm{kN/m^3}\\\ &\text{Espessura da argila:}& &H=5\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Índice de vazios da argila:}& &e_0=0,8\\\ &\text{Peso específico saturado da argila:}& &\gamma_{sat}=18,6\\ \mathrm{kN/m^3}\\\ &\text{Coeficiente de adensamento:}& &c_v=0,0029\\ \mathrm{cm^2/s}\\\ &\text{Índice de compressão (primário):}& &C_c=0,28\\\ &\text{Índice de compressão secundário:}& &C_a=0,02\\\ &\text{Situação de drenagem:}& &\text{base não drenada (ou seja, drenagem apenas pela superfície superior)}\\\ &\text{Tempo após o fim do primário:}& &\Delta t_{sec}=10\\ \text{anos}\\\ &\text{Nível de adensamento para "fim do primário":}& &P=95\% \end{aligned}íÍíÍãáÍãáçããíóáíá
Observação (assunção necessária, não informada no enunciado): vou assumir que o nível d’água está ao nível do terreno, portanto o peso específico da água é \gamma_w=9{,}81\\ \mathrm{kN/m^3}. Se houver outra posição da água, os números mudariam um pouco.

Passo 2

Calcular o incremento de tensão vertical efetiva causado pelo aterro. O acréscimo de tensão total na superfície da argila devido ao aterro é simplesmente:
\Delta\sigma = \gamma_{aterro}\cdot h_{aterro}.
Substituindo:
\Delta\sigma = 16{,}4\cdot 3 = 49{,}2\\ \mathrm{kN/m^2} = 49{,}2\\ \mathrm{kPa}.

Passo 3

Calcular a tensão efetiva inicial média na camada de argila (antes da carga), que usaremos para o cálculo de compressão. Explicação didática: a tensão efetiva \sigma' é a diferença entre a tensão total \sigma e a pressão de poro u. Para uma camada saturada com nível d’água na superfície, a tensão efetiva a uma profundidade z pode ser calculada usando o peso efetivo \gamma'=\gamma_{sat}-\gamma_w multiplicado por z.
Tomamos a profundidade média da camada (meio da camada) como z_{m}=H/2=2{,}5\\ \mathrm{m}. Então:
\gamma'=\gamma_{sat}-\gamma_w = 18{,}6-9{,}81 = 8{,}79\\ \mathrm{kN/m^3}.
Portanto a tensão efetiva inicial média:
\sigma'_0 = \gamma'\cdot z_m = 8{,}79\cdot 2{,}5 = 21{,}975\\ \mathrm{kPa}.
Arredondando: \sigma'_0 \approx 21{,}98\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Calcular a variação de índice de vazios \Delta e por compressão primária usando a fórmula clássica (relação logarítmica):
\Delta e = C_c \log_{10}\!\left(\dfrac{\sigma'_0+\Delta\sigma}{\sigma'_0}\right).
Explicação didática: C_c é o índice de compressão; essa fórmula dá quanto o índice de vazios diminui quando a tensão efetiva aumenta de \sigma'_0 para \sigma'_0+\Delta\sigma. Substituindo os valores:
\Delta e = 0{,}28\;\log_{10}\!\left(\dfrac{21{,}975+49{,}2}{21{,}975}\right) =0{,}28\;\log_{10}\!\left(\dfrac{71{,}175}{21{,}975}\right).
Calcule a razão:
\dfrac{71{,}175}{21{,}975}\approx 3{,}239.
Então
\Delta e = 0{,}28\cdot \log_{10}(3{,}239)\approx 0{,}28\cdot 0{,}510 \approx 0{,}1428.

Passo 5

Converter a variação de índice de vazios em recalque primário total (assumindo adensamento uniforme na espessura H). A fórmula:
S_{prim} = H\cdot \dfrac{\Delta e}{1+e_0}.
Explicação: essa fórmula vem da definição de índice de vazios e = V_v/V_s e da conservação do volume sólido; resulta na relação entre \Delta e e a diminuição na altura da camada.
Substituindo:
S_{prim} = 5\cdot \dfrac{0{,}1428}{1+0{,}8} = 5\cdot \dfrac{0{,}1428}{1{,}8}.
Calcule:
\dfrac{0{,}1428}{1{,}8}=0{,}07933\quad\Rightarrow\quad S_{prim}=5\cdot 0{,}07933=0{,}3967\\ \mathrm{m}.
Logo o adensamento primário máximo (assintótico) é S_{prim}\approx 0{,}397\\ \mathrm{m} (≈ 39{,}7\\ \mathrm{cm}).

Passo 6

Como o enunciado define “fim do adensamento primário” como P=95\%, o recalque primário alcançado ao fim do primário é 95\% do valor assintótico:
S_{prim}^{95\%}=0{,}95\cdot S_{prim}=0{,}95\cdot 0{,}3967\approx 0{,}3779\\ \mathrm{m}.
Ou seja, ao final do adensamento primário (estado de 95\%), já teremos aproximadamente 0{,}378\\ \mathrm{m} de recalque primário (37,8 cm).

Passo 7

Calcular o tempo necessário para atingir 95\% de adensamento (vai servir para o cálculo do adensamento secundário). Explicação didática: a equação de difusão de Terzaghi liga o fator de tempo adimensional T_v, o coeficiente de adensamento c_v, o tempo t e o caminho de drenagem efetivo H_{dr}:
T_v = \dfrac{c_v t}{H_{dr}^2}.
Para U=95\%, o valor padrão (tabela de soluções de Terzaghi) é T_v\approx 0{,}848. Observação sobre drenagem: como a base é não drenada, temos drenagem apenas pela superfície superior, portanto caminho de drenagem é igual à espessura total H:
H_{dr}=H=5\\ \mathrm{m}.
Antes de usar, convertemos c_v para unidades SI (m^2/s). Dado c_v=0{,}0029\\ \mathrm{cm^2/s}, usando 1\\ \mathrm{cm^2}=10^{-4}\\ \mathrm{m^2}:
c_v = 0{,}0029\times 10^{-4} = 2{,}9\times 10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}.
Agora isolamos t:
t_1 = \dfrac{T_v H_{dr}^2}{c_v} = \dfrac{0{,}848\cdot 5^2}{2{,}9\times 10^{-7}}.
Calcule:
0{,}848\cdot 25 = 21{,}2,
t_1 = \dfrac{21{,}2}{2{,}9\times 10^{-7}} \approx 7{,}3103\times 10^{7}\\ \mathrm{s}.
Converter para anos (1 ano ≈ 3{,}1536\times 10^{7}\\ \mathrm{s}):
t_1 \approx \dfrac{7{,}3103\times 10^{7}}{3{,}1536\times 10^{7}} \approx 2{,}32\\ \mathrm{anos}.
Portanto leva cerca de 2{,}32 anos para atingir 95\% de consolidação.

Passo 8

Calcular o recalque secundário ocorrido nos 10 anos após o fim do primário. Explicação didática: o adensamento secundário (compressão secundária) é normalmente modelado por uma relação linear entre o índice de vazios e e o logaritmo do tempo (log base 10). A fórmula que usamos é:
S_{sec} = H\cdot \dfrac{C_a}{1+e_0}\cdot \log_{10}\!\left(\dfrac{t_2}{t_1}\right),
onde t_1 é o tempo no fim do primário (aqui o t_1 calculado no passo anterior) e t_2 é o tempo final considerado (aqui t_2=t_1+10\\ \text{anos}). Atenção: usa-se \log_{10} porque C_a é o declive em relação a \log_{10}t.
Calcule t_2 em anos:
t_2 = t_1 + 10 = 2{,}32 + 10 = 12{,}32\\ \mathrm{anos}.
Agora a razão:
\dfrac{t_2}{t_1} = \dfrac{12{,}32}{2{,}32}\approx 5{,}310.
O logaritmo:
\log_{10}\!\left(\dfrac{t_2}{t_1}\right)=\log_{10}(5{,}310)\approx 0{,}725.
Substituindo na fórmula:
S_{sec} = 5\cdot \dfrac{0{,}02}{1+0{,}8}\cdot 0{,}725 =5\cdot \dfrac{0{,}02}{1{,}8}\cdot 0{,}725.
Calcule passo a passo:
\dfrac{0{,}02}{1{,}8}=0{,}011111\ldots
5\cdot 0{,}011111\ldots = 0{,}055555\ldots
S_{sec} = 0{,}055555\ldots \cdot 0{,}725 \approx 0{,}04028\\ \mathrm{m}.
Logo o recalque secundário nos 10 anos após o fim do primário é S_{sec}\approx 0{,}0403\\ \mathrm{m} (≈ 4{,}03\\ \mathrm{cm}).

Passo 9

Somar os recalques (primário alcançado ao fim do primário + secundário nos 10 anos seguintes) para obter o recalque total 10 anos após o fim do primário:
S_{total} = S_{prim}^{95\%} + S_{sec} \approx 0{,}3779 + 0{,}04028 = 0{,}4182\\ \mathrm{m}.
Arredondando com sentido prático: S_{total}\approx 0{,}418\\ \mathrm{m}, ou seja aproximadamente 41{,}8\\ \mathrm{cm}.
Pequena motivação: já fizemos toda a conta passo a passo — você consegue repetir isso na prova. Vai dar tudo certo!

Resposta

0{,}418\\ \mathrm{m}

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