Um depósito argiloso, saturado, com 6 m de espessura e assente sobre uma camada impermeável estará submetido ao efeito do lançamento de um aterro de grandes dimensões com
de altura, com peso específico igual a
. Pede-se a distribuição das poropressões imediatamente após a construção, 3 meses após o lançamento do aterro e ao final do processo de recalque primário. Considerar para a camada argilosa
.
Passo 1
Dados do enunciado e o que é pedido:
- Espessura da camada argilosa:
. - Camada assente sobre camada impermeável (logo, drenagem apenas pela superfície superior).
- Aterro de altura
e peso específico . - Coeficiente de consolidação da argila:
. - Períodos de interesse: imediatamente após a construção (tempo
), após meses, e ao final do processo de recalque primário (tempo ).
Perguntas explícitas:
- Distribuição das poropressões imediatamente após a construção.
- Distribuição das poropressões
meses após o lançamento do aterro. - Distribuição das poropressões ao final do processo de recalque primário.
Observação prática imediata (usada depois): a sobrecarga aplicada na superfície é
Passo 2
Conceito físico e fórmula que vamos usar (aula curta e direta):
- Quando um carregamento
é aplicado rapidamente sobre uma camada saturada e a água não tem tempo de escoar, a resposta inicial é essencialmente não drenada: toda a carga aparece, inicialmente, como excesso de poropressão de água (porque a água sustenta a carga antes da dissipação). Então a condição inicial (imediatamente após aplicação) é em quase toda a espessura (com ressalvas na superfície exata). É isto que chamamos de condição “undrained” instantânea. - A dissipação dessa poropressão ao longo do tempo (consolidação primária) é governada pela equação de difusão de Terzaghi (1D):
com condições de contorno: drenagem livre na superfície superior (
para
) e impermeável em
(a base), o que corresponde a
. Aqui
é a profundidade medida a partir da superfície (
topo,
base).
- A solução em séries (para o caso de drenagem só na superfície — “single drainage”) para uma condição inicial uniforme
é:
onde definimos o fator tempo adimensional
- O “grau médio de consolidação”
(fracção da poropressão média dissipada) para single-drainage é dado por
Este
é útil para obter a poropressão média remanescente:
.
Explicando as fórmulas de forma simples:
- A série aparece porque resolvemos uma equação de difusão com condições de contorno que exigem funções seno (em
) e exponenciais (em ). Cada termo da série representa um “modo” de dissipação com sua própria taxa (o primeiro termo domina nos tempos iniciais moderados). - Na prática, para estimativas, os primeiros 1–3 termos da série costumam dar boa aproximação.
Passo 3
Valor inicial (imediatamente após a construção,
):
- Como dito, a resposta instantânea é não drenada; portanto a poropressão inicial é igual à sobrecarga aplicada:
praticamente constante para
. (Observação: exatamente na superfície
a condição
vale para
; no instante
costuma-se considerar
uniforme em toda a espessura interior.)
Passo 4
Cálculo do fator de tempo adimensional
para
meses:
- Converter
meses para segundos: vou usar meses dias; assim
- Calcular
:
Fazendo as contas:
e
logo
Passo 5
Estimativa do grau médio de consolidação
em
meses (usar série truncada nos primeiros termos):
- Usando a expressão
vamos calcular os três primeiros termos (
), pois os termos seguintes são muito pequenos.
- Primeiro calcule
. Com temos
- Exponenciais necessárias:
- Agora a soma (truncada):
- Multiplicando por
(que é ):
- Finalmente
Interpretação: após
meses a argila já dissipou, em média, cerca de
da poropressão inicial; resta cerca de
da poropressão média inicial.
Logo a poropressão média remanescente é
Passo 6
Distribuição vertical aproximada das poropressões em
meses (usar os 3 primeiros termos da série para obter valores práticos):
- Fórmula (repetindo, agora usada numericamente):
com
,
e
.
- Para dar uma visão prática da distribuição, calculei valores aproximados (arredondados para 1 casa decimal) em alguns pontos representativos:
(superfície), (1/4 da espessura), (meio), (3/4) e (base). Os cálculos usam os três primeiros termos; os termos superiores são desprezíveis. -
: pela condição de drenagem, para temos -
: -
: -
: -
:
-
Comentário sobre o formato: a poropressão é zero na superfície e cresce com a profundidade, aproximando-se do valor inicial
perto da base porque a drenagem é apenas pela superfície e o fundo é impermeável (logo a dissipaçao é mais lenta nas camadas profundas).
Passo 7
Poropressões ao final do processo de recalque primário (
):
- Toda a poropressão excessiva é dissipada (para a consolidação primária completa), logo
Resposta
Após
Ao final do recalque primário: