Um depósito argiloso, saturado, com 6 m de espessura e assente sobre uma camada impermeável estará submetido ao efeito do lançamento de um aterro de grandes dimensões com 2,5 \mathrm{~m} de altura, com peso específico igual a 20 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}. Pede-se a distribuição das poropressões imediatamente após a construção, 3 meses após o lançamento do aterro e ao final do processo de recalque primário. Considerar para a camada argilosa \mathrm{cv}=4 \times 10^{-7} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}.

Passo 1

Dados do enunciado e o que é pedido:
  • Espessura da camada argilosa: 6\\ \mathrm{m}.
  • Camada assente sobre camada impermeável (logo, drenagem apenas pela superfície superior).
  • Aterro de altura 2,5\\ \mathrm{m} e peso específico \gamma=20\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3.
  • Coeficiente de consolidação da argila: c_v=4\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Períodos de interesse: imediatamente após a construção (tempo t=0), após 3 meses, e ao final do processo de recalque primário (tempo t\to\infty).
Perguntas explícitas:
  1. Distribuição das poropressões imediatamente após a construção.
  2. Distribuição das poropressões 3 meses após o lançamento do aterro.
  3. Distribuição das poropressões ao final do processo de recalque primário.
Observação prática imediata (usada depois): a sobrecarga aplicada na superfície é
q=\gamma\cdot h = 20\cdot 2,5 = 50\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2 = 50\\ \mathrm{kPa}.

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (aula curta e direta):
  • Quando um carregamento q é aplicado rapidamente sobre uma camada saturada e a água não tem tempo de escoar, a resposta inicial é essencialmente não drenada: toda a carga q aparece, inicialmente, como excesso de poropressão de água u (porque a água sustenta a carga antes da dissipação). Então a condição inicial (imediatamente após aplicação) é u(z,0)=u_0=q em quase toda a espessura (com ressalvas na superfície exata). É isto que chamamos de condição “undrained” instantânea.
  • A dissipação dessa poropressão ao longo do tempo (consolidação primária) é governada pela equação de difusão de Terzaghi (1D):
\frac{\partial u}{\partial t}=c_v\frac{\partial^2 u}{\partial z^2},
com condições de contorno: drenagem livre na superfície superior ( u(0,t)=0 para t>0) e impermeável em z=H (a base), o que corresponde a \frac{\partial u}{\partial z}(H,t)=0. Aqui z é a profundidade medida a partir da superfície ( z=0 topo, z=H=6\\ \mathrm{m} base).
  • A solução em séries (para o caso de drenagem só na superfície — “single drainage”) para uma condição inicial uniforme u_0=q é:
u(z,t)=\frac{4u_0}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1}\sin\!\left(\frac{(2n+1)\pi z}{2H}\right)\exp\!\left[-\frac{(2n+1)^2\pi^2}{4}\,T_v\right],
onde definimos o fator tempo adimensional
T_v=\frac{c_v\,t}{H^2}.
  • O “grau médio de consolidação” U (fracção da poropressão média dissipada) para single-drainage é dado por
U=1-\frac{8}{\pi^2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}\exp\!\left[-\frac{(2n+1)^2\pi^2}{4}\,T_v\right].
Este U é útil para obter a poropressão média remanescente: \bar u(t)=(1-U)u_0.
Explicando as fórmulas de forma simples:
  • A série aparece porque resolvemos uma equação de difusão com condições de contorno que exigem funções seno (em z) e exponenciais (em t). Cada termo da série representa um “modo” de dissipação com sua própria taxa (o primeiro termo domina nos tempos iniciais moderados).
  • Na prática, para estimativas, os primeiros 1–3 termos da série costumam dar boa aproximação.

Passo 3

Valor inicial (imediatamente após a construção, t=0):
  • Como dito, a resposta instantânea é não drenada; portanto a poropressão inicial é igual à sobrecarga aplicada:
u(z,0)=u_0=q=50\\ \mathrm{kPa},
praticamente constante para 0<z<6\\ \mathrm{m}. (Observação: exatamente na superfície z=0 a condição \,u(0,t)=0 vale para t>0; no instante t=0 costuma-se considerar u_0 uniforme em toda a espessura interior.)

Passo 4

Cálculo do fator de tempo adimensional T_v para t=3 meses:
  • Converter 3 meses para segundos: vou usar 3 meses \approx 90 dias; assim
t=90\cdot24\cdot3600=7\,776\,000\\ \mathrm{s}.
  • Calcular T_v:
T_v=\frac{c_v\,t}{H^2}=\frac{4\times10^{-7}\cdot 7\,776\,000}{6^2}.
Fazendo as contas:
4\times10^{-7}\cdot 7\,776\,000 = 3,1104
e
H^2=6^2=36,
logo
T_v=\frac{3,1104}{36}\approx 0,0864.

Passo 5

Estimativa do grau médio de consolidação U em t=3 meses (usar série truncada nos primeiros termos):
  • Usando a expressão
U=1-\frac{8}{\pi^2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}\exp\!\left[-\frac{(2n+1)^2\pi^2}{4}\,T_v\right],
vamos calcular os três primeiros termos ( n=0,1,2 ), pois os termos seguintes são muito pequenos.
  • Primeiro calcule \alpha=\dfrac{\pi^2}{4}T_v. Com T_v\approx0,0864 temos
\alpha\approx\frac{\pi^2}{4}\cdot0,0864\approx0,213.
  • Exponenciais necessárias:
e^{-\alpha}\approx e^{-0,213}\approx0,808,
e^{-9\alpha}\approx e^{-1,917}\approx0,147,
e^{-25\alpha}\approx e^{-5,325}\approx0,0049.
  • Agora a soma (truncada):
S\approx\frac{1}{1^2}\,0,808+\frac{1}{3^2}\,0,147+\frac{1}{5^2}\,0,0049 \approx0,808 + 0,0163 + 0,00020 \approx 0,8245.
  • Multiplicando por \dfrac{8}{\pi^2} (que é \approx0,81057):
\frac{8}{\pi^2}S\approx 0,81057\cdot0,8245 \approx 0,668.
  • Finalmente
U\approx 1-0,668\approx 0,332.
Interpretação: após 3 meses a argila já dissipou, em média, cerca de 33{,}2\% da poropressão inicial; resta cerca de 66{,}8\% da poropressão média inicial.
Logo a poropressão média remanescente é
\bar u(3\,\text{meses})=(1-U)u_0\approx 0,668\cdot50\\ \mathrm{kPa}\approx 33{,}4\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Distribuição vertical aproximada das poropressões em t=3 meses (usar os 3 primeiros termos da série para obter valores práticos):
  • Fórmula (repetindo, agora usada numericamente):
u(z,t)\approx\frac{4u_0}{\pi}\Bigg[\frac{1}{1}\sin\!\Big(\frac{\pi z}{2H}\Big)e^{-\alpha} +\frac{1}{3}\sin\!\Big(\frac{3\pi z}{2H}\Big)e^{-9\alpha} +\frac{1}{5}\sin\!\Big(\frac{5\pi z}{2H}\Big)e^{-25\alpha}\Bigg],
com u_0=50\\ \mathrm{kPa}, H=6\\ \mathrm{m} e \alpha\approx0,213.
  • Para dar uma visão prática da distribuição, calculei valores aproximados (arredondados para 1 casa decimal) em alguns pontos representativos: z=0\\ \mathrm{m} (superfície), z=1{,}5\\ \mathrm{m} (1/4 da espessura), z=3{,}0\\ \mathrm{m} (meio), z=4{,}5\\ \mathrm{m} (3/4) e z=6{,}0\\ \mathrm{m} (base). Os cálculos usam os três primeiros termos; os termos superiores são desprezíveis.
    • z=0\\ \mathrm{m}: pela condição de drenagem, para t>0 temos u(0,t)=0\\ \mathrm{kPa}.
    • z=1{,}5\\ \mathrm{m}: u(1{,}5\\ \mathrm{m},3\\ \text{meses})\approx 22{,}6\\ \mathrm{kPa}.
    • z=3{,}0\\ \mathrm{m}: u(3{,}0\\ \mathrm{m},3\\ \text{meses})\approx 38{,}5\\ \mathrm{kPa}.
    • z=4{,}5\\ \mathrm{m}: u(4{,}5\\ \mathrm{m},3\\ \text{meses})\approx 46{,}3\\ \mathrm{kPa}.
    • z=6{,}0\\ \mathrm{m}: u(6{,}0\\ \mathrm{m},3\\ \text{meses})\approx 48{,}4\\ \mathrm{kPa}.
Comentário sobre o formato: a poropressão é zero na superfície e cresce com a profundidade, aproximando-se do valor inicial 50\\ \mathrm{kPa} perto da base porque a drenagem é apenas pela superfície e o fundo é impermeável (logo a dissipaçao é mais lenta nas camadas profundas).

Passo 7

Poropressões ao final do processo de recalque primário ( t\to\infty):
  • Toda a poropressão excessiva é dissipada (para a consolidação primária completa), logo
u(z,\infty)=0\\ \mathrm{kPa}\quad\text{para }0\le z\le 6\\ \mathrm{m}.

Resposta

u(z,0)=50\\ \mathrm{kPa} para 0<z<6\\ \mathrm{m} (poropressão inicial uniforme imediatamente após a construção).
Após 3 meses (aproximação pelos 3 primeiros termos da série):
u(0)=0\\ \mathrm{kPa},\; u(1{,}5\\ \mathrm{m})\approx22{,}6\\ \mathrm{kPa},\; u(3{,}0\\ \mathrm{m})\approx38{,}5\\ \mathrm{kPa},\; u(4{,}5\\ \mathrm{m})\approx46{,}3\\ \mathrm{kPa},\; u(6{,}0\\ \mathrm{m})\approx48{,}4\\ \mathrm{kPa}.
Ao final do recalque primário: u(z,\infty)=0\\ \mathrm{kPa} para todo 0\le z\le6\\ \mathrm{m}.

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