O crescimento de uma planta é modelado por:
h(t)=-0,5 t^{2}+4 t+2
onde h(t) é a altura da planta (em cm) e t é o tempo em semanas. Após quanto tempo a planta atinge altura máxima? Qual é essa altura?

Passo 1

O enunciado dá a altura da planta em função do tempo como
h(t) = -0,5\,t^{2} + 4\,t + 2
Isso é uma parábola com coeficiente principal negativo a<0, logo ela tem um ponto de máximo. Para saber quando e qual é esse máximo, vamos usar a fórmula do vértice de uma parábola.

Passo 2

Numa parábola genérica h(t)=a\,t^{2}+b\,t+c, o tempo em que ocorre o vértice é
t_{\text{v}} = -\frac{b}{2\,a}.
Aqui temos a = -0,5 e b = 4.

Passo 3

Substituindo na fórmula do vértice:
t_{\text{v}} = -\frac{4}{2 \times (-0,5)} = -\frac{4}{-1} = 4.
Portanto, a planta atinge a altura máxima em t = 4 semanas.

Passo 4

Para encontrar essa altura, basta calcular h(4):
h(4) = -0,5 \times 4^{2} + 4\times 4 + 2 = -0,5 \times 16 + 16 + 2 = -8 + 16 + 2 = 10.
Logo, a altura máxima é de 10 cm.

Resposta

A planta atinge a altura máxima após 4 semanas, e essa altura é 10 cm.

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