Um criador necessita repor quatro fêmeas de seu plantel. Seis matrizes foram acasaladas e produziram um filho cada. Supondo que machos e fêmeas nascem com a mesma probabilidade, obtenha a probabilidade de que seja necessária a compra de ao menos uma fêmea de outro criador.
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P(X \leq 3)=0,6563

Passo 1

O problema é um caso de distribuição binomial: seis nascimentos independentes, cada um com probabilidade de 0,5 de ser fêmea ou macho, e precisamos de pelo menos quatro fêmeas para não ter que comprar de outro criador.

Passo 2

Vamos definir a variável aleatória. Seja X o número de fêmeas nascidas em seis partos. Então X sim Bin(n=6,p=0.5). A função de probabilidade é dada por
P(X = k) = 6 choose k (0.5)^k (0.5)^6-k = 6 choose k (0.5)^6

Passo 3

Queremos a probabilidade de ter que comprar ao menos uma fêmea de outro criador. Isso ocorre sempre que nascem menos de quatro fêmeas, ou seja X <= 3. Então calculamos
P(X <= 3) = sumk=0^3 6 choose k (0.5)^6

Passo 4

Agora somamos os termos:
6 choose 0 + 6 choose 1 + 6 choose 2 + 6 choose 3 = 1 + 6 + 15 + 20 = 42
Cada termo é multiplicado por (0.5)^6 = 1/64, então
P(X <= 3) = 4264 = 0.65625

Resposta

0,6563

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