Uma criança de 40 kg de massa desce por um escorregador de 8.0 m de comprimento, inclinado de 30^circ com a horizontal. O coeficiente de atrito cinetico entre a criança e o escorregador e 0,35 . Se a crianca parte do repouso do topo do escorregador, qual sua rupidez ao chegar a base?
SITUAÇĀo Enquanto a criança escorrega, parte de sua energia potencial é convertida em energia cinética e, devido ao atrito, parte é convertida em energia termica. Escolhemos o conjunto criança-escorregador-Terra como nosso sistema e aplicamos o teorema de conservaçâo da energia.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui. Uma criança de 40 kg está descendo um escorregador que tem 8 metros de comprimento e está inclinado a 30 graus em relação à horizontal. O atrito entre a criança e o escorregador tem um coeficiente cinético de 0,35. Queremos descobrir qual será a velocidade da criança quando ela chegar na base do escorregador. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia potencial, energia cinética e trabalho do atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a altura que a criança desce. Como o escorregador está inclinado a 30 graus e tem 8 metros de comprimento, a altura h = L cdot sin(theta) pode ser encontrada usando a função seno:
h = 8.0 cdot sin(30^circ) = 8.0 cdot 0,5 = 4,0 , m
Onde:
Calculando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia potencial gravitacional inicial ( Ep = m cdot g cdot h ) da criança no topo do escorregador. A fórmula para energia potencial é:
Ep = 40 cdot 9,8 cdot 4,0 = 1568 , J
Onde:
Calculando:

Passo 4

A energia potencial será convertida em energia cinética ( Ec = 12 m v^2 ) e em energia térmica devido ao atrito. A energia cinética é dada por:
Queremos encontrar a velocidade final.

Passo 5

Vamos calcular o trabalho feito pelo atrito ( Wa = muk cdot N cdot L ). O trabalho do atrito é igual à força de atrito multiplicada pela distância:
N = 40 cdot 9,8 cdot cos(30^circ) = 40 cdot 9,8 cdot 0,866 = 339,5 , N
Onde:
  • Wa = 0,35 cdot 339,5 cdot 8,0 = 0,35 cdot 2716 = 952,6 , J
  • (força normal)
Calculando a força normal:
Agora, o trabalho do atrito:

Passo 6

Aplicando o princípio da conservação da energia:
Ep = Ec + Wa
Substituindo os valores:
1568 = 12 cdot 40 cdot v^2 + 952,6

Passo 7

Vamos resolver para 1568 - 952,6 = 20 cdot v^2 :
Primeiro, subtraímos o trabalho do atrito de ambos os lados:
615,4 = 20 cdot v^2
v^2 = 615,420 = 30,77
Dividindo por 20:
v = raiz30,77 approx 5,55 , m/s
Tirando a raiz quadrada:

Resposta

A velocidade da criança ao chegar na base do escorregador é aproximadamente 5,55 m/s.

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