Uma criança de massa 20,0 \mathrm{~kg} desliza sobre um escorregador plano, a partir de uma altura de 2,00 \mathrm{~m}. A inclinação do escorregador em relação à horizontal é 30^{\circ}. Considere o atrito desprezível. Determinar a velocidade da criança ao final da descida.
19) Um disco de massa 0,200 \mathrm{~kg} é lançado sobre uma rampa plana, inclinada em 30^{\circ} em relação à horizontal, a partir de sua base, com velocidade de 5,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considerar que o atrito seja desprezível. Determinar a altura máxima atingida pelo disco.

Passo 1

O enunciado traz dois fenômenos de queda/subida em plano inclinado sem atrito. No primeiro, uma criança de massa 20,0\\ \mathrm{kg} desce de uma altura de 2,00\\ \mathrm{m} num escorregador inclinado a 30^\circ, e pede-se a velocidade final. No segundo, um disco de massa 0,200\\ \mathrm{kg} é lançado para cima de uma rampa também a 30^\circ com velocidade inicial de 5,00\\ \mathrm{m/s}, e quer-se a altura máxima alcançada. O conteúdo principal é a conservação da energia mecânica.

Passo 2

Como não há forças dissipativas, a energia mecânica se conserva em cada caso: mgh_i + \tfrac12 m v_i^2 = mgh_f + \tfrac12 m v_f^2.
Observe que a massa cancela, e basta relacionar energia potencial gravitacional mgh e energia cinética \tfrac12mv^2.

Passo 3

Para a criança:
o ponto inicial tem v_i=0 e altura h_i=2,00\\ \mathrm{m}, o final está no solo h_f=0, e temos \tfrac12 v_f^2 = g\,h_i,
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v_f = \sqrt{2\,g\,h_i}.
Substituindo g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} e h_i=2,00\\ \mathrm{m},
v_f = \sqrt{2\times 9,8\times 2,00} = \sqrt{39,2} \approx 6,26\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Para o disco:
o ponto inicial tem v_i=5,00\\ \mathrm{m/s} e altura h_i=0, no ponto mais alto v_f=0 e altura h_f=h_{\max}. Da conservação \tfrac12 v_i^2 = g\,h_{\max},
segue
h_{\max} = \frac{v_i^2}{2\,g}.
Substituindo v_i=5,00\\ \mathrm{m/s} e g=9,8\\ \mathrm{m/s^2},
h_{\max} = \frac{(5,00)^2}{2\times 9,8} = \frac{25}{19,6} \approx 1,28\\ \mathrm{m}.

Resposta

Velocidade da criança ao final da descida: 6,26\\ \mathrm{m/s}
Altura máxima atingida pelo disco: 1,28\\ \mathrm{m}

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