Um cristal paramagnético contém
íons magnéticos que possuem spin
e momento de dipolo magnético
. O cristal é colocado em um reservatório térmico a temperatura
, e um campo magnético
é aplicado ao cristal. Use o fato de que, nessas condições, a energia livre de Helmholtz é mínima para determinar o momento magnético resultante do cristal.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado. \n
- Pede: determinar o momento magnético resultante do cristal (ou seja, a magnetização total) quando o cristal está em equilíbrio térmico à temperatura
sob campo magnético , usando o fato de que a energia livre de Helmholtz é mínima. \n - Dados fornecidos:
- Há
íons magnéticos idênticos no cristal. - Cada íon tem spin
com projeções . - Cada projeção
corresponde a um momento dipolar ao longo do campo igual a (ou seja, assumimos que a componente do momento magnético ao longo do campo é ). - Temperatura
e campo externo são dados e fixos (equilíbrio térmico, ensemble canônico). \n
- Há
- Objetivo matemático: achar o momento magnético total
do cristal em equilíbrio (função de ). \n
(Nesta etapa não resolvemos nada, só organizamos o que foi pedido e os dados que usaremos.)
Passo 2
Modelagem estatística e energias das microestados — Boltzmann e partição. \n
- Em equilíbrio canônico, a probabilidade de um íon estar num estado com energia
é proporcional a , onde e é a constante de Boltzmann. Vou explicar isso devagar: a energia térmica típica é ; então pesos favorecem estados de baixa energia, e é o parâmetro que controla quanto a temperatura “suaviza” essa preferência. \n - Para um íon no campo
com momento (projeção ), a energia de interação magnética é
Isto significa que estados com
positivo têm energia menor quando
aponta na direção positiva: fisicamente, alinhamento com o campo é energeticamente favorável. \n
- A função partição de uma única partícula (um íon) é a soma das populações ponderadas por
sobre todos os níveis :
Aqui definimos
. Essa
contém toda a informação estatística de um íon isolado e será a base para o resto.
Passo 3
Calcular explicitamente
(soma geométrica) e definir a variável conveniente. \n
- Introduzo a variável adimensional
Essa é a razão entre a energia magnética característica
e a energia térmica
. \n
- Escrevo a partição como soma geométrica:
Faço a soma usando a fórmula de soma de uma progressão geométrica. Uma forma prática é fatorar
:
- Reescrevendo em termos de funções hiperbólicas (mais elegante e padrão nesta teoria) obtemos a forma compacta
(Dica didática: esta identidade vem de manipular exponenciais e usar
.)
Passo 4
Ligar energia livre de Helmholtz à magnetização e estabelecer a relação que vamos usar. \n
- Para
íons independentes (não interagentes entre si), a partição total é . A energia livre de Helmholtz do sistema é
- O enunciado pede uso do fato de que
é mínimo em equilíbrio; uma maneira prática de obter o momento magnético resultante é usar a relação termodinâmica
Explicando: minimizar
significa que pequenas variações em
mudam
conforme essa derivada; a derivada negativa dá a grandeza conjugada (o momento magnético total). \n
- Substituindo
e passando a derivada em termos de (já que ) obtemos
Como
, isso simplifica para
Interpretação prática:
é a média da projeção
, e multiplicando por
dá a média do momento por íon; multiplicando por
dá o momento total.
Passo 5
Calcular
explicitamente e obter
. \n
- Usando a forma de
em termos de , temos
Derivando em
,
(Justificativa:
.) \n
- Substituindo na fórmula para
obtemos a expressão final para o momento magnético total:
onde lembramos
. \n
- Esta expressão é a forma sem nomeação; pode-se reconhecê-la como a forma que envolve a função de Brillouin. É a solução para o problema: depende de
e reduz-se ao limite de saturação quando é muito grande (alinhamento total).
Passo 6
Interpretação física e caso de campo pequeno (lei de Curie) — aula rápida aplicada. \n
- Limite forte do campo (
): , então a expressão interior tende a . Assim , que é a magnetização de saturação (todos os spins alinhados com ). \n - Limite de campo fraco / alta temperatura (
): usamos a expansão . Substituindo e mantendo o termo linear em resulta em
Usando
isso dá a lei de Curie para susceptibilidade:
ou seja a susceptibilidade
, que decai como
. \n
- Essas verificações são úteis para checar se a expressão geral faz sentido físico: saturação em campo grande e comportamento linear/Curie em campo pequeno.