Um cristal paramagnético contém N íons magnéticos que possuem spin S e momento de dipolo magnético \mu. O cristal é colocado em um reservatório térmico a temperatura T, e um campo magnético B é aplicado ao cristal. Use o fato de que, nessas condições, a energia livre de Helmholtz é mínima para determinar o momento magnético resultante do cristal.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado. \n
  • Pede: determinar o momento magnético resultante do cristal (ou seja, a magnetização total) quando o cristal está em equilíbrio térmico à temperatura T sob campo magnético B, usando o fato de que a energia livre de Helmholtz é mínima. \n
  • Dados fornecidos:
    • N íons magnéticos idênticos no cristal.
    • Cada íon tem spin S com projeções m=-S,-S+1,\dots,S.
    • Cada projeção m corresponde a um momento dipolar ao longo do campo igual a \mu m (ou seja, assumimos que a componente do momento magnético ao longo do campo é \mu m).
    • Temperatura T e campo externo B são dados e fixos (equilíbrio térmico, ensemble canônico). \n
  • Objetivo matemático: achar o momento magnético total M do cristal em equilíbrio (função de N,S,\mu,B,T). \n
    (Nesta etapa não resolvemos nada, só organizamos o que foi pedido e os dados que usaremos.)

Passo 2

Modelagem estatística e energias das microestados — Boltzmann e partição. \n
  • Em equilíbrio canônico, a probabilidade de um íon estar num estado com energia E é proporcional a e^{-\beta E}, onde \beta=\dfrac{1}{kT} e k é a constante de Boltzmann. Vou explicar isso devagar: a energia térmica típica é kT; então pesos e^{-\beta E} favorecem estados de baixa energia, e \beta é o parâmetro que controla quanto a temperatura “suaviza” essa preferência. \n
  • Para um íon no campo B com momento \mu m (projeção m), a energia de interação magnética é
E_m = -(\mu m) B = -\mu B m.
Isto significa que estados com m positivo têm energia menor quando B aponta na direção positiva: fisicamente, alinhamento com o campo é energeticamente favorável. \n
  • A função partição de uma única partícula (um íon) é a soma das populações ponderadas por e^{-\beta E_m} sobre todos os níveis m:
Z_1 = \sum_{m=-S}^{S} e^{-\beta E_m} = \sum_{m=-S}^{S} e^{\beta \mu B m}.
Aqui definimos \beta=\dfrac{1}{kT}. Essa Z_1 contém toda a informação estatística de um íon isolado e será a base para o resto.

Passo 3

Calcular explicitamente Z_1 (soma geométrica) e definir a variável conveniente. \n
  • Introduzo a variável adimensional
x \equiv \beta \mu B = \dfrac{\mu B}{kT}.
Essa é a razão entre a energia magnética característica \mu B e a energia térmica kT. \n
  • Escrevo a partição como soma geométrica:
Z_1 = \sum_{m=-S}^{S} e^{x m}.
Faço a soma usando a fórmula de soma de uma progressão geométrica. Uma forma prática é fatorar e^{-Sx}:
Z_1 = e^{-Sx}\sum_{j=0}^{2S} e^{x j} = e^{-Sx}\cdot\frac{1-e^{(2S+1)x}}{1-e^{x}}.
  • Reescrevendo em termos de funções hiperbólicas (mais elegante e padrão nesta teoria) obtemos a forma compacta
Z_1 = \frac{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{2S+1}{2}x\right)}{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}.
(Dica didática: esta identidade vem de manipular exponenciais e usar \operatorname{sinh}(z)=(e^{z}-e^{-z})/2.)

Passo 4

Ligar energia livre de Helmholtz à magnetização e estabelecer a relação que vamos usar. \n
  • Para N íons independentes (não interagentes entre si), a partição total é Z = (Z_1)^N. A energia livre de Helmholtz do sistema é
F = -kT \ln Z = -kT\,N\ln Z_1.
  • O enunciado pede uso do fato de que F é mínimo em equilíbrio; uma maneira prática de obter o momento magnético resultante é usar a relação termodinâmica
M \equiv \text{momento magnético total} = -\left(\frac{\partial F}{\partial B}\right)_{T}.é
Explicando: minimizar F significa que pequenas variações em B mudam F conforme essa derivada; a derivada negativa dá a grandeza conjugada (o momento magnético total). \n
  • Substituindo F e passando a derivada em termos de x (já que x=\mu B/(kT)) obtemos
M = -\frac{\partial}{\partial B}\bigl(-kT N \ln Z_1\bigr) = N kT \frac{\partial \ln Z_1}{\partial B} = N kT \frac{\partial \ln Z_1}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial B}.
Como \partial x/\partial B = \mu/(kT), isso simplifica para
M = N \mu \frac{\partial \ln Z_1}{\partial x}.
Interpretação prática: \dfrac{\partial \ln Z_1}{\partial x} é a média da projeção m, e multiplicando por \mu dá a média do momento por íon; multiplicando por N dá o momento total.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial \ln Z_1}{\partial x} explicitamente e obter M. \n
  • Usando a forma de Z_1 em termos de \operatorname{sinh}, temos
\ln Z_1 = \ln\!\left[\operatorname{sinh}\!\left(\frac{2S+1}{2}x\right)\right] - \ln\!\left[\operatorname{sinh}\!\left(\frac{x}{2}\right)\right].
Derivando em x,
\frac{\partial \ln Z_1}{\partial x} = \frac{2S+1}{2}\coth\!\left(\frac{2S+1}{2}x\right) - \frac{1}{2}\coth\!\left(\frac{x}{2}\right).
(Justificativa: \dfrac{d}{dz}\ln\operatorname{sinh} z = \coth z.) \n
  • Substituindo na fórmula para M obtemos a expressão final para o momento magnético total:
M = N \mu \left[\frac{2S+1}{2}\coth\!\left(\frac{2S+1}{2}x\right) - \frac{1}{2}\coth\!\left(\frac{x}{2}\right)\right],
onde lembramos x=\dfrac{\mu B}{kT}. \n
  • Esta expressão é a forma sem nomeação; pode-se reconhecê-la como a forma que envolve a função de Brillouin. É a solução para o problema: depende de N,S,\mu,B,T e reduz-se ao limite de saturação M\to N\mu S quando B é muito grande (alinhamento total).

Passo 6

Interpretação física e caso de campo pequeno (lei de Curie) — aula rápida aplicada. \n
  • Limite forte do campo ( x\to\infty): \coth z\to 1, então a expressão interior tende a (2S+1)/2 - 1/2 = S. Assim M\to N\mu S, que é a magnetização de saturação (todos os spins alinhados com m=S). \n
  • Limite de campo fraco / alta temperatura ( x\ll1): usamos a expansão \coth z \approx \dfrac{1}{z} + \dfrac{z}{3} - \cdots. Substituindo e mantendo o termo linear em x resulta em
M \approx N \mu \left[\frac{(2S+1)}{2}\cdot\frac{2}{(2S+1)x} -\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{x}\right] + \text{termos de ordem }x = N \mu \left(\frac{S(S+1)}{3}\,x\right).
Usando x=\dfrac{\mu B}{kT} isso dá a lei de Curie para susceptibilidade:
M \approx N \frac{\mu^2 S(S+1)}{3kT}\,B,
ou seja a susceptibilidade \chi = \dfrac{M}{B} = \dfrac{N\mu^2 S(S+1)}{3kT}, que decai como 1/T. \n
  • Essas verificações são úteis para checar se a expressão geral faz sentido físico: saturação em campo grande e comportamento linear/Curie em campo pequeno.

Resposta

M = N \mu \left[\frac{2S+1}{2}\coth\!\left(\frac{2S+1}{2}\frac{\mu B}{kT}\right) - \frac{1}{2}\coth\!\left(\frac{1}{2}\frac{\mu B}{kT}\right)\right].

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