A seguinte descrição pode ser consideradoa um modelo unidimensional muito simples da borracha. Uma cadeia consiste de n(\gg 1) elos, cada um de comprimento a. Os elos estão ao longo do eixo x, mas podem dobrar-se sobre si mesmos. As extremidades da cadeia estão separadas por uma distância L e o sistema está isolado.
Determine a tensão na cadeia se ambas as orientações dos elos têm a mesma energia. Mostre que, para L \ll n a, obtém-se a lei de Hooke.

Passo 1

O enunciado e os dados que temos (sem resolver ainda):
  • Uma cadeia unidimensional com n elos, com n \gg 1.
  • Cada elo tem comprimento a.
  • Cada elo pode apontar só em duas orientações ao longo do eixo x: para a direita ou para a esquerda.
  • As extremidades da cadeia estão separadas por uma distância L.
  • O sistema está isolado e ambas as orientações do elo têm a mesma energia (ou seja, energia não distingue microestados).
    O que é pedido:
  1. Determinar a tensão (força) na cadeia como função das variáveis do problema.
  2. Mostrar que, quando L \ll n a, a tensão obedece à lei de Hooke (isto é, é linear em L).

Passo 2

Modelagem combinatória das microconfigurações e relação com L.
  • Seja n_{+} o número de elos apontando para a direita e n_{-} o número apontando para a esquerda. Então
n_{+}+n_{-}=n.
  • O deslocamento total (extensão) L é a diferença entre passos à direita e à esquerda multiplicada por a:
L = a(n_{+}-n_{-}) = a(2n_{+}-n).
  • Dessa relação isolamos n_{+}:
n_{+} = \frac{n + \tfrac{L}{a}}{2}, \qquad n_{-} = \frac{n - \tfrac{L}{a}}{2}.
  • Como energia não distingue as orientações, todas as configurações com os mesmos (n_{+},n_{-}) têm igual probabilidade. O número de microestados compatíveis com esses números é a multiplicidade binomial
\Omega = \binom{n}{n_{+}}.
  • A entropia estatística (de Boltzmann) é
S = k \ln \Omega,
onde k é a constante de Boltzmann.

Passo 3

Aproximação para S usando Stirling (porque n\gg1) e derivada necessária.
  • Para n\gg1 usamos a aproximação de Stirling na forma logarítmica:
\ln m! \simeq m\ln m - m \quad (m\gg1).
  • Aplicando em \ln \Omega = \ln \dfrac{n!}{n_{+}!\,n_{-}!} obtemos
\ln \Omega \simeq n\ln n - n_{+}\ln n_{+} - n_{-}\ln n_{-}.
  • Portanto
S \simeq k\bigl(n\ln n - n_{+}\ln n_{+} - n_{-}\ln n_{-}\bigr).
  • Vamos precisar da derivada de S em relação a L. Use a regra da cadeia:
\frac{\partial S}{\partial L} = \frac{\partial S}{\partial n_{+}}\cdot\frac{\partial n_{+}}{\partial L}.
  • Calculando \partial S/\partial n_{+} a partir da expressão aproximada:
\frac{\partial}{\partial n_{+}}\bigl(-n_{+}\ln n_{+}-n_{-}\ln n_{-}\bigr) = -(\ln n_{+}+1) - \frac{\partial n_{-}}{\partial n_{+}}(\ln n_{-}+1).
Como n_{-}=n-n_{+} temos \partial n_{-}/\partial n_{+}=-1, então os termos constantes se cancelam e sobra
\frac{\partial S}{\partial n_{+}} = k\ln\!\left(\frac{n_{-}}{n_{+}}\right).
  • E de \;n_{+}=(n+L/a)/2\; vem
\frac{\partial n_{+}}{\partial L}=\frac{1}{2a}.

Passo 4

Expressão da força a partir da entropia (força entópica) e resultado explícito.
  • Para um sistema isolado a força conjugada à coordenada L pode ser obtida pela relação (força de tração positiva para aumentar L):
f = T\left(\frac{\partial S}{\partial L}\right)_{U},
onde T é a temperatura e o subíndice U indica energia constante (aqui a energia não depende da configuração).
  • Substituindo as derivadas que encontramos:
\frac{\partial S}{\partial L} = \frac{k}{2a}\ln\!\left(\frac{n_{-}}{n_{+}}\right).
  • Logo a força vale
f = \frac{kT}{2a}\ln\!\left(\frac{n_{-}}{n_{+}}\right).
  • Usando n_{\pm}=(n\pm L/a)/2 obtemos a expressão em termos de L:
f = \frac{kT}{2a}\ln\!\left(\frac{\,\dfrac{n-\tfrac{L}{a}}{2}\,}{\,\dfrac{n+\tfrac{L}{a}}{2}\,}\right) = \frac{kT}{2a}\ln\!\left(\frac{n-\tfrac{L}{a}}{\,n+\tfrac{L}{a}\,}\right).
  • Observação física: se L>0 então n_{+}>n_{-} e o logaritmo é negativo, o que significa f<0; isto é consistente com uma força restauradora que tende a reduzir a extensão (sinal convencional).

Passo 5

Limite L\ll n a e obtenção da lei de Hooke.
  • Defina o parâmetro pequeno
x=\frac{L}{n a}\qquad\text{com }x\ll1.
  • Reescreva o argumento do logaritmo como
\frac{n-\tfrac{L}{a}}{n+\tfrac{L}{a}}=\frac{1-x}{1+x}.
  • Para |x|\ll1 use a expansão em série
\ln\!\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=\ln(1-x)-\ln(1+x)\simeq (-x-\tfrac{x^{2}}{2}-\cdots)- (x-\tfrac{x^{2}}{2}+\cdots)\simeq -2x + O(x^{3}).
  • Assim, para L\ll n a,
f \simeq \frac{kT}{2a}\,(-2x) = -\frac{kT}{a}\,\frac{L}{n a} = -\frac{kT}{n a^{2}}\,L.
  • Portanto a força é linear em L: é a lei de Hooke com constante elástica efetiva
k_{\mathrm{ef}} = \frac{kT}{n a^{2}}.
  • Interpretando: a força restauradora é entópica (proporcional a T) e inversamente proporcional ao número de elos n e ao quadrado do comprimento do elo a.

Resposta

f(L)=\frac{kT}{2a}\ln\!\left(\frac{n-\tfrac{L}{a}}{\,n+\tfrac{L}{a}\,}\right)
\text{Para }L\ll n a:\qquad f \simeq -\frac{kT}{n a^{2}}\,L\quad\text{(lei de Hooke, com }k_{\mathrm{ef}}=\tfrac{kT}{n a^{2}}\text{).}

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