Um cristal contém N átomos que possuem spin 1 e momento magnético \mu. Colocado em um campo magnético uniforme B, os átomos podem se orientar em três direções: paralela, perpendicular ou antiparalela ao campo. Se o cristal está em equilíbrio térmico a temperatura T, obtenha uma expressão para o momento magnético médio do cristal, assumindo que apenas as interações dos dipolos com o campo precisam ser consideradas.
Qual é o momento magnético do cristal:
(a) Quando colocado em um campo fraco a alta temperatura?
(b) Quando colocado em um campo forte a baixa temperatura?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas claras:
  • N átomos idênticos no cristal.
  • Cada átomo tem spin 1 e momento magnético de módulo \mu.
  • Colocado num campo magnético uniforme B, cada átomo pode ter a componente do momento ao longo de B igual a \mu, 0 ou -\mu (respectivamente “paralela”, “perpendicular” e “antiparalela” ao campo).
  • O cristal está em equilíbrio térmico à temperatura T.
  • Devemos considerar apenas a energia de interação dos dipolos com o campo (ou seja, nenhuma interação dipolo-dipolo).
O que o enunciado pede:
  1. Obter uma expressão para o momento magnético médio do cristal (isto é, a magnetização total ou momento total médio).
  2. Avaliar essa expressão nos dois limites:
    (a) campo fraco e alta temperatura;
    (b) campo forte e baixa temperatura.

Passo 2

Modelagem física e ideia do método (passo a passo didático).
  • Energia de um dipolo magnético com componente \mu_z em um campo B é
E = -\mu_z B.
Aqui \mu_z é a componente do momento na direção do campo. Para nosso spin-1, \mu_z assume os valores \mu, 0, -\mu.
  • Em equilíbrio térmico, a probabilidade de um estado com energia E é proporcional ao fator de Boltzmann e^{-\beta E}, onde definimos
\beta=\frac{1}{kT},
e k é a constante de Boltzmann.
  • Para calcular médias, usamos a função de partição (normalização) de uma única partícula e depois a fórmula de valor esperado. Como os átomos são independentes e idênticos, o momento magnético médio total do cristal é N vezes o momento médio por átomo.
    Vou agora calcular passo a passo o partição por átomo e a média por átomo.

Passo 3

Partição (função de partição) de um átomo.
  • Os três níveis têm energias, usando E=-\mu_z B:
    • Para \mu_z=\mu: E=-\mu B.
    • Para \mu_z=0: E=0.
    • Para \mu_z=-\mu: E=+\mu B.
  • Os pesos de Boltzmann (proporcionais às probabilidades não normalizadas) são:
    • e^{-\beta(-\mu B)}=e^{\beta\mu B},
    • e^{-\beta\cdot 0}=1,
    • e^{-\beta(\mu B)}=e^{-\beta\mu B}.
  • A função de partição por átomo é, portanto,
Z = e^{\beta\mu B} + 1 + e^{-\beta\mu B} = 1 + 2\operatorname{cosh}(\beta\mu B).

Passo 4

Momento magnético médio por átomo (fórmula e cálculo).
  • A média da componente ao longo de B para um átomo é a soma dos valores \mu_z vezes a probabilidade de cada estado:
\langle \mu_z \rangle = \frac{\mu\;e^{\beta\mu B} + 0\cdot 1 + (-\mu)\;e^{-\beta\mu B}}{Z}.
  • Simplificando o numerador:
\mu\;e^{\beta\mu B} - \mu\;e^{-\beta\mu B} = \mu\cdot 2\operatorname{sinh}(\beta\mu B).
  • Logo, a média por átomo é
\langle \mu_z \rangle = \mu\;\frac{2\operatorname{sinh}(\beta\mu B)}{1 + 2\operatorname{cosh}(\beta\mu B)}.
  • Aqui cada símbolo significa:
    • \mu: módulo do momento magnético de um átomo,
    • B: intensidade do campo magnético externo,
    • \beta=1/(kT): inverso da energia térmica,
    • \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh} são funções hiperbólicas.

Passo 5

Momento magnético médio total do cristal.
  • Os átomos são independentes e idênticos, então o momento médio total é N vezes a média por átomo. Assim:
M \equiv \langle \text{momento total} \rangle = N\,\mu\;\frac{2\operatorname{sinh}(\beta\mu B)}{1 + 2\operatorname{cosh}(\beta\mu B)}.
  • Esta é a expressão geral pedida. Agora vamos obter aproximações nos limites solicitados.

Passo 6

Caso (a): campo fraco e alta temperatura ( \beta\mu B \ll 1).
  • Quando o argumento x=\beta\mu B é pequeno, podemos usar as expansões em série:
    • \operatorname{sinh} x \approx x + \dfrac{x^3}{6} + \cdots,
    • \operatorname{cosh} x \approx 1 + \dfrac{x^2}{2} + \cdots.
  • Mantendo apenas a ordem mais baixa (linear em x) para um campo fraco / alta T:
    • 2\operatorname{sinh}(\beta\mu B) \approx 2(\beta\mu B).
    • 1 + 2\operatorname{cosh}(\beta\mu B) \approx 1 + 2(1) = 3 (correções são de ordem (\beta\mu B)^2).
  • Substituindo na expressão de M:
M \approx N\,\mu\;\frac{2(\beta\mu B)}{3} = N\;\frac{2\mu^2}{3kT}\;B.
  • Interpretação simples: M é proporcional a B/T — isto é uma forma da lei de Curie (com constante de Curie C = N\cdot 2\mu^2/(3k)). Em provas, basta mostrar a proporcionalidade a B/T e o fator numérico.

Passo 7

Caso (b): campo forte e baixa temperatura ( \beta\mu B \gg 1).
  • Quando x=\beta\mu B é grande e positivo, os exponenciais dominam:
    • \operatorname{sinh} x \approx \tfrac{1}{2}e^{x},
    • \operatorname{cosh} x \approx \tfrac{1}{2}e^{x}.
  • Então:
    • 2\operatorname{sinh}(\beta\mu B) \approx e^{\beta\mu B},
    • 1 + 2\operatorname{cosh}(\beta\mu B) \approx 1 + e^{\beta\mu B} \approx e^{\beta\mu B} (o 1 fica desprezível).
  • Substituindo:
\langle \mu_z \rangle \approx \mu\;\frac{e^{\beta\mu B}}{e^{\beta\mu B}} = \mu.
  • Assim o momento médio por átomo tende ao valor máximo \mu, e o momento total do cristal tende a
M \approx N\mu.
  • Interpretação física: todos os dipolos ficam alinhados paralelamente ao campo (saturação magnética).

Passo 8

Resumo físico rápido e dica de prova.
  • Fórmula exata por átomo: \langle \mu_z \rangle = \mu\;{2\operatorname{sinh}(\beta\mu B)}/{\bigl(1+2\operatorname{cosh}(\beta\mu B)\bigr)}.
  • Em provas, derive rápido a partição Z=1+2\operatorname{cosh}(\beta\mu B) e depois a média via soma ponderada; é direto e seguro.
  • Para limites, use as expansões padrão de \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh} para x\ll1 e o comportamento exponencial para x\gg1.

Resposta

M = N\,\mu\;\dfrac{2\operatorname{sinh}\!\bigl(\dfrac{\mu B}{kT}\bigr)}{1 + 2\operatorname{cosh}\!\bigl(\dfrac{\mu B}{kT}\bigr)}
(a) M \approx N\;\dfrac{2\mu^{2}}{3kT}\;B \quad (campo fraco, alta temperatura)
(b) M \approx N\mu \quad (campo forte, baixa temperatura)

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