Um cristal contém
átomos que possuem spin 1 e momento magnético
. Colocado em um campo magnético uniforme
, os átomos podem se orientar em três direções: paralela, perpendicular ou antiparalela ao campo. Se o cristal está em equilíbrio térmico a temperatura
, obtenha uma expressão para o momento magnético médio do cristal, assumindo que apenas as interações dos dipolos com o campo precisam ser consideradas.
Qual é o momento magnético do cristal:
(a) Quando colocado em um campo fraco a alta temperatura?
(b) Quando colocado em um campo forte a baixa temperatura?
Qual é o momento magnético do cristal:
(a) Quando colocado em um campo fraco a alta temperatura?
(b) Quando colocado em um campo forte a baixa temperatura?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas claras:
- Há
átomos idênticos no cristal. - Cada átomo tem spin
e momento magnético de módulo . - Colocado num campo magnético uniforme
, cada átomo pode ter a componente do momento ao longo de igual a , ou (respectivamente “paralela”, “perpendicular” e “antiparalela” ao campo). - O cristal está em equilíbrio térmico à temperatura
. - Devemos considerar apenas a energia de interação dos dipolos com o campo (ou seja, nenhuma interação dipolo-dipolo).
O que o enunciado pede:
- Obter uma expressão para o momento magnético médio do cristal (isto é, a magnetização total ou momento total médio).
- Avaliar essa expressão nos dois limites:
(a) campo fraco e alta temperatura;
(b) campo forte e baixa temperatura.
Passo 2
Modelagem física e ideia do método (passo a passo didático).
- Energia de um dipolo magnético com componente
em um campo é
Aqui
é a componente do momento na direção do campo. Para nosso spin-1,
assume os valores
,
,
.
- Em equilíbrio térmico, a probabilidade de um estado com energia
é proporcional ao fator de Boltzmann , onde definimos
e
é a constante de Boltzmann.
- Para calcular médias, usamos a função de partição (normalização) de uma única partícula e depois a fórmula de valor esperado. Como os átomos são independentes e idênticos, o momento magnético médio total do cristal é
vezes o momento médio por átomo.
Vou agora calcular passo a passo o partição por átomo e a média por átomo.
Passo 3
Partição (função de partição) de um átomo.
- Os três níveis têm energias, usando
: - Para
: . - Para
: . - Para
: .
- Para
- Os pesos de Boltzmann (proporcionais às probabilidades não normalizadas) são:
-
, -
, -
.
-
- A função de partição por átomo é, portanto,
Passo 4
Momento magnético médio por átomo (fórmula e cálculo).
- A média da componente ao longo de
para um átomo é a soma dos valores vezes a probabilidade de cada estado:
- Simplificando o numerador:
- Logo, a média por átomo é
- Aqui cada símbolo significa:
-
: módulo do momento magnético de um átomo, -
: intensidade do campo magnético externo, -
: inverso da energia térmica, -
e são funções hiperbólicas.
-
Passo 5
Momento magnético médio total do cristal.
- Os átomos são independentes e idênticos, então o momento médio total é
vezes a média por átomo. Assim:
- Esta é a expressão geral pedida. Agora vamos obter aproximações nos limites solicitados.
Passo 6
Caso (a): campo fraco e alta temperatura (
).
- Quando o argumento
é pequeno, podemos usar as expansões em série: -
, -
.
-
- Mantendo apenas a ordem mais baixa (linear em
) para um campo fraco / alta : -
. -
(correções são de ordem ).
-
- Substituindo na expressão de
:
- Interpretação simples:
é proporcional a — isto é uma forma da lei de Curie (com constante de Curie ). Em provas, basta mostrar a proporcionalidade a e o fator numérico.
Passo 7
Caso (b): campo forte e baixa temperatura (
).
- Quando
é grande e positivo, os exponenciais dominam: -
, -
.
-
- Então:
-
, -
(o fica desprezível).
-
- Substituindo:
- Assim o momento médio por átomo tende ao valor máximo
, e o momento total do cristal tende a
- Interpretação física: todos os dipolos ficam alinhados paralelamente ao campo (saturação magnética).
Passo 8
Resumo físico rápido e dica de prova.
- Fórmula exata por átomo:
. - Em provas, derive rápido a partição
e depois a média via soma ponderada; é direto e seguro. - Para limites, use as expansões padrão de
e para e o comportamento exponencial para .
Resposta
(a)
\quad (campo fraco, alta temperatura)
(b)
\quad (campo forte, baixa temperatura)