(CTFT) 03 - Seja o sistema LTI cuja resposta à entrada x(t)=[e^-t+e^-3 t] u(t) é y(t)=[2 e^-t-2 e^-4 t] u(t)
(a) Encontre a resposta em frequência deste sistema usando TFourier. (1,0 ptos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema LTI (Linear e Invariante no Tempo) que recebe uma entrada e produz uma saída . A pergunta é para encontrar a resposta em frequência desse sistema usando a Transformada de Fourier (CTFT).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para sistemas LTI, a saída no domínio da frequência é o produto da resposta em frequência Y(omega) = H(omega) cdot X(omega) pela entrada no domínio da frequência H(omega) = Y(omega)X(omega) . Ou seja:
Então, para encontrar , basta dividir por :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as transformadas de Fourier de Fe^-at u(t) = 1a + jomega e X(omega) = 11 + jomega + 13 + jomega . Sabemos que a transformada de Y(omega) = 21 + jomega - 24 + jomega é:
Aplicando isso:
Para :
Para :

Passo 4

Agora, substituímos H(omega) = 21 + jomega - 24 + jomega11 + jomega + 13 + jomega e na fórmula de :

Passo 5

Para simplificar, vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
2 cdot 11 + jomega - 2 cdot 14 + jomega = 21 + jomega - 24 + jomega
Denominador:
11 + jomega + 13 + jomega

Passo 6

Simplificando o numerador e o denominador:
Numerador comum:
2(4 + jomega) - 2(1 + jomega)(1 + jomega)(4 + jomega) = 8 + 2jomega - 2 - 2jomega(1 + jomega)(4 + jomega) = 6(1 + jomega)(4 + jomega)
Denominador comum:
3 + jomega + 1 + jomega(1 + jomega)(3 + jomega) = 4 + 2jomega(1 + jomega)(3 + jomega)

Passo 7

Agora, colocando tudo junto:
H(omega) = 6(1 + jomega)(4 + jomega)4 + 2jomega(1 + jomega)(3 + jomega) = 6(1 + jomega)(4 + jomega) cdot (1 + jomega)(3 + jomega)4 + 2jomega
Cancelando H(omega) = 6(3 + jomega)(4 + jomega)(4 + 2jomega) :

Passo 8

Podemos fatorar o denominador:
4 + 2jomega = 2(2 + jomega)
Então:
H(omega) = 6(3 + jomega)(4 + jomega) cdot 2(2 + jomega) = 3(3 + jomega)(4 + jomega)(2 + jomega)

Resposta

A resposta em frequência do sistema é:
H(omega) = 3(3 + jomega)(4 + jomega)(2 + jomega)

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