(DTFS)02- Considere a resposta impulso do dado por
. Encontre a representação da saída
para a entrada
ptos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a resposta impulso do sistema, que é
, e a entrada
. A gente precisa encontrar a saída do sistema,
. Para isso, vamos usar conceitos de Sistemas Lineares e Tempo Invariante (LTI) e convolução, que nos ajudam a entender como o sistema responde a diferentes entradas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para sistemas LTI, a saída
pode ser encontrada pela convolução da entrada
com a resposta impulso
. A convolução é uma maneira de “misturar” a entrada com a resposta do sistema para obter a saída.
Passo 3
A fórmula da convolução para sinais discretos é:
Mas, como
, onde
é a função degrau que é 0 para
e 1 para
, a soma simplifica para:
Passo 4
Agora, substituímos
e
:
Passo 5
Para simplificar essa soma, podemos reconhecer que é uma soma de termos que formam uma série geométrica com fator
e uma componente oscilatória devido ao cosseno. Podemos usar propriedades de séries geométricas e identidades trigonométricas para resolver.
Passo 6
Vamos reescrever a soma destacando o termo
:
Passo 7
Para resolver a soma
, podemos usar a fórmula da soma de uma sequência geométrica com razão complexa. Sabemos que
, então:
Passo 8
A soma geométrica
é igual a
, onde
. Assim:
Passo 9
Agora, vamos simplificar o denominador:
Passo 10
A parte real da soma é a saída
. Após cálculos mais detalhados e simplificações (que envolvem operações com números complexos e possíveis aproximações para termos de alta ordem como
), chegamos à expressão final simplificada: