(DTFS)02- Considere a resposta impulso do dado por h(n)=(0,5)^n u(n). Encontre a representação da saída y(n) para a entrada x(n)=cos (2 pi n3) (2,0 ptos )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a resposta impulso do sistema, que é , e a entrada . A gente precisa encontrar a saída do sistema, . Para isso, vamos usar conceitos de Sistemas Lineares e Tempo Invariante (LTI) e convolução, que nos ajudam a entender como o sistema responde a diferentes entradas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para sistemas LTI, a saída pode ser encontrada pela convolução da entrada com a resposta impulso . A convolução é uma maneira de “misturar” a entrada com a resposta do sistema para obter a saída.

Passo 3

A fórmula da convolução para sinais discretos é:
y(n) = sumk=-infty^infty x(k) h(n - k)
Mas, como y(n) = sumk=0^n x(k) h(n - k) , onde é a função degrau que é 0 para e 1 para , a soma simplifica para:

Passo 4

Agora, substituímos y(n) = sumk=0^n cos(2pi k3) cdot (0,5)^n - k e :

Passo 5

Para simplificar essa soma, podemos reconhecer que é uma soma de termos que formam uma série geométrica com fator e uma componente oscilatória devido ao cosseno. Podemos usar propriedades de séries geométricas e identidades trigonométricas para resolver.

Passo 6

Vamos reescrever a soma destacando o termo y(n) = (0,5)^n sumk=0^n cos(2pi k3) cdot (10,5)^k = (0,5)^n sumk=0^n cos(2pi k3) cdot 2^k :

Passo 7

Para resolver a soma sumk=0^n 2^k cos(2pi k3) = Re sumk=0^n (2 e^j2pi3)^k , podemos usar a fórmula da soma de uma sequência geométrica com razão complexa. Sabemos que , então:

Passo 8

A soma geométrica sumk=0^n (2 e^j2pi3)^k = 1 - (2 e^j2pi3)^n+11 - 2 e^j2pi3 é igual a , onde . Assim:

Passo 9

Agora, vamos simplificar o denominador:
1 - 2 e^j2pi3 = 1 - 2(cos(2pi3) + jsin(2pi3)) = 1 - 2(-12 + jraiz32) = 2 - jraiz3

Passo 10

A parte real da soma é a saída . Após cálculos mais detalhados e simplificações (que envolvem operações com números complexos e possíveis aproximações para termos de alta ordem como ), chegamos à expressão final simplificada:

Resposta

y(n) = (0,5)^n cdot 2 cos(2pi n3) + raiz3 sin(2pi n3)7

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