(b) Qual é a resposta estado zero do sistema para a entrada x(n)=(-0,5)^n u(n) (1,5 ptos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a resposta estado zero de um sistema quando a entrada é . Isso envolve sistemas lineares e invariantes no tempo (SLIT) e resposta a entradas específicas. Para resolver, vamos precisar entender como o sistema responde a essa entrada específica usando a teoria de sistemas discretos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a resposta estado zero. Em sistemas SLIT, a resposta total pode ser dividida em duas partes: a resposta a estado zero (que considera apenas a entrada, assumindo que não há condições iniciais) e a resposta transiente (que considera as condições iniciais). Aqui, focamos só na resposta estado zero.

Passo 3

A entrada fornecida é , onde é a função degrau unitário. Isso significa que para , assume valores de uma sequência geométrica com razão .

Passo 4

Para encontrar a resposta estado zero, precisamos saber a função de transferência do sistema ou sua equação de diferenças. Vamos assumir que o sistema é descrito por uma equação de diferenças de primeira ordem, por exemplo:
y(n) - a cdot y(n-1) = x(n)
Aqui, é o coeficiente que define o comportamento do sistema. Sem a informação específica de , vamos considerar um valor genérico para ilustrar a resolução.

Passo 5

Substituindo a entrada na equação de diferenças:
y(n) - a cdot y(n-1) = (-0,5)^n u(n)
Como estamos considerando resposta estado zero, as condições iniciais são zero, ou seja, .

Passo 6

Resolvendo a equação de diferenças, buscamos uma solução particular que tenha a mesma forma da entrada. Vamos supor que:
yp(n) = K cdot (-0,5)^n
Substituindo na equação:
K cdot (-0,5)^n - a cdot K cdot (-0,5)^n-1 = (-0,5)^n
Simplificando:
K cdot (-0,5)^n (1 - a cdot (-0,5)^-1) = (-0,5)^n
K (1 + 2a) = 1
K = 11 + 2a

Passo 7

Assim, a resposta estado zero é:
y(n) = 11 + 2a cdot (-0,5)^n u(n)
Isso mostra como a saída do sistema depende do coeficiente e da entrada fornecida.

Resposta

A resposta estado zero do sistema para a entrada y(n) = 11 + 2a cdot (-0,5)^n u(n) é:
onde é o coeficiente da equação de diferenças do sistema.

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