(b) Qual é a resposta estado zero do sistema para a entrada
(1,5 ptos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a resposta estado zero de um sistema quando a entrada é
. Isso envolve sistemas lineares e invariantes no tempo (SLIT) e resposta a entradas específicas. Para resolver, vamos precisar entender como o sistema responde a essa entrada específica usando a teoria de sistemas discretos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a resposta estado zero. Em sistemas SLIT, a resposta total pode ser dividida em duas partes: a resposta a estado zero (que considera apenas a entrada, assumindo que não há condições iniciais) e a resposta transiente (que considera as condições iniciais). Aqui, focamos só na resposta estado zero.
Passo 3
A entrada fornecida é
, onde
é a função degrau unitário. Isso significa que para
,
assume valores de uma sequência geométrica com razão
.
Passo 4
Para encontrar a resposta estado zero, precisamos saber a função de transferência do sistema ou sua equação de diferenças. Vamos assumir que o sistema é descrito por uma equação de diferenças de primeira ordem, por exemplo:
Aqui,
é o coeficiente que define o comportamento do sistema. Sem a informação específica de
, vamos considerar um valor genérico para ilustrar a resolução.
Passo 5
Substituindo a entrada na equação de diferenças:
Como estamos considerando resposta estado zero, as condições iniciais são zero, ou seja,
.
Passo 6
Resolvendo a equação de diferenças, buscamos uma solução particular que tenha a mesma forma da entrada. Vamos supor que:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 7
Assim, a resposta estado zero é:
Isso mostra como a saída do sistema depende do coeficiente
e da entrada fornecida.
Resposta
A resposta estado zero do sistema para a entrada
é:
onde
é o coeficiente da equação de diferenças do sistema.