A spool of wire has a starting diameter of 2.5 mm . It is drawn through a die with an opening that is to 2.1 mm . The entrance angle of the die is
. Coefficient of friction at the work-die interface is 0.08 . The work metal has a strength coefficient of 450 MPa and a strain-hardening coefficient of 0.26 . The drawing is performed at room temperature. Determine (a) area reduction, (b) draw stress, and (c) draw force required for the operation.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais são os dados numéricos fornecidos.
O enunciado pede:
- (a) redução de área,
- (b) tensão de tração (draw stress) necessária para o estiramento através do molde,
- (c) força de tração (draw force) requerida.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- Diâmetro inicial:
. - Diâmetro final:
. - Ângulo de entrada do molde:
. (Tratamos este ângulo como o semi-ângulo do cone do molde.) - Coeficiente de atrito:
. - Coeficiente de resistência (constante de Hollomon):
. - Exponente de encruamento (lei de Hollomon):
. - Processo a temperatura ambiente (assumimos deformação plástica a frio, regime de Hollomon aplicável).
Passo 2
Calcular as áreas inicial e final e, a partir delas, a redução de área.
Fórmula da área circular:
Área inicial:
Área final:
Redução de área (fração):
Como
,
Convertendo para porcentagem:
Passo 3
Calcular a deformação verdadeira (true strain) associada ao desenho.
Para redução de área em tração (ou estiramento de fio) a deformação verdadeira total é
Cálculo numérico:
Portanto
(adimensional).
Observação didática curta: a verdadeira deformação
mede a mudança logarítmica de área/longitudinal e é a forma correta para integrar relações do tipo
.
Passo 4
Estimar a tensão média de escoamento associada à deformação, usando a lei de Hollomon e o valor médio da tensão.
Lei de Hollomon (tensão-verdadeira versus deformação-verdadeira):
onde
-
é a tensão verdadeira, -
é o coeficiente (aqui ), -
é a deformação verdadeira, -
é o expoente de encruamento ( aqui).
Quando a tensão segue
ao longo da deformação de
a
, a tensão média (média da tensão verdadeira durante o processo) é obtida por integração:
Isso é importante porque o trabalho de deformação por unidade de volume é
, e a tensão média representa essa integração dividida por
.
Agora calculamos numericamente
.
Primeiro
:
Logo
Explicando em palavras:
é a tensão média interna necessária para provocar a deformação plástica até
sem considerar atrito no molde.
Passo 5
Incluir o efeito do atrito no molde (fator geométrico do cone) para obter a tensão de tração (draw stress).
Efeito do atrito: durante o desenho através de um molde cônico a fricção entre o metal e o molde adiciona uma contribuição adicional à tensão de tração necessária. Uma expressão clássica aproximada para a tensão de tração necessária (tensão no cabo que puxa o fio) é:
onde
-
é o coeficiente de atrito, -
é o semi-ângulo do molde (aquele dado como ), -
.
Calculamos
:
Então o fator de atrito:
Assim a tensão de tração:
Arredondando de forma sensata:
.
Comentário didático: a forma
é uma aproximação comumente usada para processos de estiramento por mola cônica onde a pressão normal ao longo do cone gera força de atrito distribuída; o termo
representa essa contribuição adimensional.
Passo 6
Calcular a força de tração requerida (draw force) usando a tensão de tração e a área final.
Força de tração:
Usando unidades práticas:
em
(MPa = N/mm^2) e
em
dá
em N.
Temos
(do Passo 2) e
.
Então
Em unidades convenientes:
Resposta
(a) Redução de área
(b) Tensão de tração (draw stress)
(c) Força de tração requerida
(b) Tensão de tração (draw stress)
(c) Força de tração requerida