A spool of wire has a starting diameter of 2.5 mm . It is drawn through a die with an opening that is to 2.1 mm . The entrance angle of the die is 18^{\circ}. Coefficient of friction at the work-die interface is 0.08 . The work metal has a strength coefficient of 450 MPa and a strain-hardening coefficient of 0.26 . The drawing is performed at room temperature. Determine (a) area reduction, (b) draw stress, and (c) draw force required for the operation.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais são os dados numéricos fornecidos.
O enunciado pede:
  • (a) redução de área,
  • (b) tensão de tração (draw stress) necessária para o estiramento através do molde,
  • (c) força de tração (draw force) requerida.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Diâmetro inicial: d_0 = 2{,}5\\ \text{mm}.
  • Diâmetro final: d_f = 2{,}1\\ \text{mm}.
  • Ângulo de entrada do molde: \alpha = 18^\circ. (Tratamos este ângulo como o semi-ângulo do cone do molde.)
  • Coeficiente de atrito: \mu = 0{,}08.
  • Coeficiente de resistência (constante de Hollomon): K = 450\\ \text{MPa}.
  • Exponente de encruamento (lei de Hollomon): n = 0{,}26.
  • Processo a temperatura ambiente (assumimos deformação plástica a frio, regime de Hollomon aplicável).

Passo 2

Calcular as áreas inicial e final e, a partir delas, a redução de área.
Fórmula da área circular:
A=\frac{\pi}{4}d^{2}.
Área inicial:
A_0=\frac{\pi}{4}d_0^{2}=\frac{\pi}{4}(2{,}5)^{2}=\frac{\pi}{4}\cdot6{,}25=1{,}5625\pi\\ \text{mm}^2\approx 4{,}9087\\ \text{mm}^2.
Área final:
A_f=\frac{\pi}{4}d_f^{2}=\frac{\pi}{4}(2{,}1)^{2}=\frac{\pi}{4}\cdot4{,}41=1{,}1025\pi\\ \text{mm}^2\approx 3{,}4640\\ \text{mm}^2.
Redução de área (fração):
r=\frac{A_0-A_f}{A_0}=1-\frac{A_f}{A_0}.
Como \dfrac{A_f}{A_0}=\left(\dfrac{d_f}{d_0}\right)^2=\left(\dfrac{2{,}1}{2{,}5}\right)^2=(0{,}84)^2=0{,}7056,
r=1-0{,}7056=0{,}2944.
Convertendo para porcentagem:
r=0{,}2944\times100\%=29{,}44\%.

Passo 3

Calcular a deformação verdadeira (true strain) associada ao desenho.
Para redução de área em tração (ou estiramento de fio) a deformação verdadeira total é
\varepsilon=\ln\!\left(\frac{A_0}{A_f}\right)=\ln\!\left(\frac{d_0^2}{d_f^2}\right)=2\ln\!\left(\frac{d_0}{d_f}\right).
Cálculo numérico:
\frac{d_0}{d_f}=\frac{2{,}5}{2{,}1}\approx1{,}190476, \qquad \varepsilon=2\ln(1{,}190476)\approx2\cdot0{,}174353=0{,}348706.
Portanto \varepsilon\approx0{,}3487 (adimensional).
Observação didática curta: a verdadeira deformação \varepsilon mede a mudança logarítmica de área/longitudinal e é a forma correta para integrar relações do tipo \sigma=K\varepsilon^n.

Passo 4

Estimar a tensão média de escoamento associada à deformação, usando a lei de Hollomon e o valor médio da tensão.
Lei de Hollomon (tensão-verdadeira versus deformação-verdadeira):
\sigma(\varepsilon)=K\,\varepsilon^{n},
onde
  • \sigma é a tensão verdadeira,
  • K é o coeficiente (aqui 450\\ \text{MPa}),
  • \varepsilon é a deformação verdadeira,
  • n é o expoente de encruamento ( 0{,}26 aqui).
Quando a tensão segue \sigma=K\varepsilon^{n} ao longo da deformação de 0 a \varepsilon, a tensão média (média da tensão verdadeira durante o processo) é obtida por integração:
\sigma_{\text{média}}=\frac{1}{\varepsilon}\int_{0}^{\varepsilon}K\,\varepsilon'^{\,n}\,d\varepsilon' = \frac{K}{\varepsilon}\cdot\frac{\varepsilon^{\,n+1}}{n+1} = \frac{K\,\varepsilon^{\,n}}{n+1}.é
Isso é importante porque o trabalho de deformação por unidade de volume é \int_0^{\varepsilon}\sigma\,d\varepsilon, e a tensão média representa essa integração dividida por \varepsilon.
Agora calculamos numericamente \sigma_{\text{média}}é.
Primeiro \varepsilon^{n}:
\varepsilon^{n}=(0{,}348706)^{0{,}26} \approx 0{,}760.
Logo
\sigma_{\text{média}}=\frac{K\,\varepsilon^{n}}{n+1}=\frac{450\cdot0{,}760}{1{,}26}\\ \text{MPa}\approx\frac{342{,}0}{1{,}26}\\ \text{MPa}\approx271{,}4\\ \text{MPa}.é
Explicando em palavras: 271{,}4\\ \text{MPa} é a tensão média interna necessária para provocar a deformação plástica até \varepsilon=0{,}3487 sem considerar atrito no molde.

Passo 5

Incluir o efeito do atrito no molde (fator geométrico do cone) para obter a tensão de tração (draw stress).
Efeito do atrito: durante o desenho através de um molde cônico a fricção entre o metal e o molde adiciona uma contribuição adicional à tensão de tração necessária. Uma expressão clássica aproximada para a tensão de tração necessária (tensão no cabo que puxa o fio) é:
\sigma_{\text{draw}}=\sigma_{\text{média}}\left(1+2\mu\cot\alpha\right),é
onde
  • \mu é o coeficiente de atrito,
  • \alpha é o semi-ângulo do molde (aquele dado como 18^\circ),
  • \cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha}.
Calculamos \cot\alpha:
\tan(18^\circ)\approx0{,}3240\quad\Rightarrow\quad\cot(18^\circ)\approx\frac{1}{0{,}3240}\approx3{,}0777.
Então o fator de atrito:
1+2\mu\cot\alpha=1+2\cdot0{,}08\cdot3{,}0777 =1+0{,}4924\approx1{,}4924.
Assim a tensão de tração:
\sigma_{\text{draw}}=\;271{,}4\\ \text{MPa}\times1{,}4924\approx404{,}9\\ \text{MPa}.
Arredondando de forma sensata: \sigma_{\text{draw}}\approx405\\ \text{MPa}.
Comentário didático: a forma (1+2\mu\cot\alpha) é uma aproximação comumente usada para processos de estiramento por mola cônica onde a pressão normal ao longo do cone gera força de atrito distribuída; o termo 2\mu\cot\alpha representa essa contribuição adimensional.

Passo 6

Calcular a força de tração requerida (draw force) usando a tensão de tração e a área final.
Força de tração:
F=\sigma_{\text{draw}}\cdot A_f.
Usando unidades práticas: \sigma_{\text{draw}} em \text{N}/\text{mm}^2 (MPa = N/mm^2) e A_f em \text{mm}^2 F em N.
Temos A_f\approx3{,}46397\\ \text{mm}^2 (do Passo 2) e \sigma_{\text{draw}}\approx404{,}9\\ \text{MPa}.
Então
F\approx404{,}9\\ \frac{\text{N}}{\text{mm}^2}\times3{,}46397\\ \text{mm}^2\approx1401{,}9\\ \text{N}.
Em unidades convenientes:
F\approx1{,}402\\ \text{kN}.

Resposta

(a) Redução de área =29{,}44\%
(b) Tensão de tração (draw stress) \approx405\\ \text{MPa}
(c) Força de tração requerida \approx1{,}40\\ \text{kN}

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