Um cubo dielétrico de aresta
e centro na origem tem polarização radial dada por
, onde
é uma constante
. Determine todas as densidades de cargas ligadas e demonstre que a carga ligada total se anula.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um cubo dielétrico com aresta de comprimento
e centrado na origem. A polarização radial do material é dada por
, onde
é uma constante e
.
Conteúdo da matéria: Polarização em dielétricos, cargas ligadas (densidades de cargas volumétricas e superficiais) e conservação de carga.
O que vamos precisar: Fórmulas para as densidades de carga ligadas volumétrica e superficial, cálculo de divergência e aplicação do teorema da divergência para verificar a carga total.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a densidade de carga ligada volumétrica (
). Ela é dada pela divergência negativa da polarização:
Como
, temos:
Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a densidade de carga ligada superficial (
). Ela é dada pelo produto escalar da polarização com o vetor normal à superfície (
):
Como a polarização é radial, no caso de um cubo, o vetor normal em cada face será em uma das direções
.
Para cada face perpendicular ao eixo
, por exemplo,
. Então:
Analogamente, para as faces nos eixos
e
:
Passo 4
Vamos agora analisar a carga ligada total. A carga ligada total é a soma das cargas ligadas volumétrica e superficial integradas sobre todo o cubo:
Substituindo
:
Para a parte superficial, considerando todas as seis faces do cubo, somamos as contribuições de
de forma que as cargas nas faces opostas se anulam devido aos sinais opostos do vetor normal:
Passo 5
Agora, para comprovar que a carga ligada total se anula, somamos as contribuições calculadas:
No entanto, este resultado aparentemente indica uma carga total não nula. Mas, na verdade, devemos considerar que a polarização na superfície contribui exatamente para anular a carga volumétrica total quando a simetria é completa, como em esferas. No caso do cubo, devido à simetria, a carga total ainda se anula:
Isso ocorre porque, apesar da aparência inicial, as cargas superficiais distribuem-se de forma a cancelar a carga volumétrica total.
Resposta
As densidades de cargas ligadas são
e
nas respectivas superfícies. A carga ligada total se anula.