Uma distribuição de carga com simetria esférica tem densidade de cargas dada por:
Obtenha o campo elétrico via a Lei de Gauss e a partir disto determine o potencial
em qualquer ponto do espaço e a energia armazenada na região
. Feito isso, reconstitua o vetor campo elétrico originalmente calculado a partir das expressões obtidas para o potencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma distribuição esférica de carga com densidade
que é
dentro de um raio
e zero fora. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico usando a Lei de Gauss, depois determinar o potencial elétrico
em qualquer ponto do espaço, calcular a energia armazenada na região onde
e, por fim, reconstruir o campo elétrico a partir do potencial que encontramos. Para isso, vamos precisar entender a Lei de Gauss, como calcular o potencial elétrico a partir do campo e como determinar a energia armazenada em um campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico
. A Lei de Gauss diz que a integral do campo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo
:
Como a distribuição de carga é esférica, a gente escolhe uma superfície gaussiana esférica de raio
. Vamos considerar dois casos: quando
e quando
.
Para
:
A carga dentro da superfície gaussiana é:
A carga dentro da superfície gaussiana é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Para
:
A carga total dentro da superfície gaussiana é a carga total da esfera:
A carga total dentro da superfície gaussiana é a carga total da esfera:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Passo 3
Agora que temos o campo elétrico
, vamos calcular o potencial elétrico
em qualquer ponto do espaço. Lembrando que o potencial é dado pela integral do campo elétrico:
Vamos considerar
para facilitar a integração.
Para
:
Para
:
Primeiro, integramos de até
:
Primeiro, integramos de
Então, de
até
:
Simplificando:
Passo 4
Vamos calcular a energia armazenada na região onde
. A energia armazenada em um campo elétrico é dada por:
Usando o campo elétrico para
:
Então,
A integral em coordenadas esféricas é:
Integrando:
Então,
Passo 5
Finalmente, vamos reconstituir o campo elétrico a partir do potencial
que encontramos. Sabemos que:
Em coordenadas esféricas, isso significa:
Vamos derivar
para as duas regiões.
Para
:
Derivando:
Que confirma o que achamos com a Lei de Gauss.
Para
:
Derivando:
Também confirma o resultado anterior.
Resposta
O campo elétrico
, o potencial elétrico
, a energia armazenada na região
e o campo elétrico reconstruído são:
E o campo elétrico reconstruído a partir do potencial
coincide com o campo calculado inicialmente.