Uma distribuição de carga com simetria esférica tem densidade de cargas dada por:
rhov=cc rho0 & 0 <= r <= R 0 & r>R
Obtenha o campo elétrico via a Lei de Gauss e a partir disto determine o potencial V em qualquer ponto do espaço e a energia armazenada na região r. Feito isso, reconstitua o vetor campo elétrico originalmente calculado a partir das expressões obtidas para o potencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma distribuição esférica de carga com densidade que é dentro de um raio e zero fora. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico usando a Lei de Gauss, depois determinar o potencial elétrico em qualquer ponto do espaço, calcular a energia armazenada na região onde e, por fim, reconstruir o campo elétrico a partir do potencial que encontramos. Para isso, vamos precisar entender a Lei de Gauss, como calcular o potencial elétrico a partir do campo e como determinar a energia armazenada em um campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico oint E cdot dA = Qdentrovarepsilon0 . A Lei de Gauss diz que a integral do campo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo Qdentro = rho0 cdot 43pi r^3 :
E cdot 4pi r^2 = rho0 cdot 43pi r^3varepsilon0
Como a distribuição de carga é esférica, a gente escolhe uma superfície gaussiana esférica de raio E = rho0 r3varepsilon0 . Vamos considerar dois casos: quando Qtotal = rho0 cdot 43pi R^3 e quando E cdot 4pi r^2 = rho0 cdot 43pi R^3varepsilon0 .
Para E = rho0 R^33varepsilon0 r^2 :
A carga dentro da superfície gaussiana é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Para :
A carga total dentro da superfície gaussiana é a carga total da esfera:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:

Passo 3

Agora que temos o campo elétrico V(r) = -integral E cdot dr , vamos calcular o potencial elétrico V(r) = -integralr^infty rho0 R^33varepsilon0 r'^2 dr' = rho0 R^33varepsilon0 r em qualquer ponto do espaço. Lembrando que o potencial é dado pela integral do campo elétrico:
V(R) = rho0 R^33varepsilon0 R = rho0 R^23varepsilon0
Vamos considerar V(r) = V(R) - integral0^r rho0 r'3varepsilon0 dr' = rho0 R^23varepsilon0 - rho0 r^26varepsilon0 para facilitar a integração.
Para V(r) = rho06varepsilon0(2R^2 - r^2) :
Para :
Primeiro, integramos de até :
Então, de até :
Simplificando:

Passo 4

Vamos calcular a energia armazenada na região onde U = 12varepsilon0 integral E^2 , dV . A energia armazenada em um campo elétrico é dada por:
E = rho0 r3varepsilon0
Usando o campo elétrico para E^2 = (rho0 r3varepsilon0)^2 = rho0^2 r^29varepsilon0^2 :
U = 12varepsilon0 integral0^R rho0^2 r^29varepsilon0^2 cdot 4pi r^2 dr = 2pi rho0^29varepsilon0 integral0^R r^4 dr
Então,
integral0^R r^4 dr = R^55
A integral em coordenadas esféricas é:
U = 2pi rho0^2 R^545varepsilon0
Integrando:
Então,

Passo 5

Finalmente, vamos reconstituir o campo elétrico a partir do potencial E = -nabla V que encontramos. Sabemos que:
E(r) = -dVdr
Em coordenadas esféricas, isso significa:
V(r) = rho0 R^33varepsilon0 r
Vamos derivar E(r) = -ddr(rho0 R^33varepsilon0 r) = rho0 R^33varepsilon0 r^2 para as duas regiões.
Para V(r) = rho06varepsilon0(2R^2 - r^2) :
E(r) = -ddr(rho06varepsilon0(2R^2 - r^2)) = rho0 r3varepsilon0
Derivando:
Que confirma o que achamos com a Lei de Gauss.
Para :
Derivando:
Também confirma o resultado anterior.

Resposta

O campo elétrico E(r) = rho0 r3varepsilon0 r & para r <= R rho0 R^33varepsilon0 r^2 r & para r > R , o potencial elétrico V(r) = rho06varepsilon0(2R^2 - r^2) & para r <= R rho0 R^33varepsilon0 r & para r > R , a energia armazenada na região U = 2pi rho0^2 R^545varepsilon0 e o campo elétrico reconstruído são:
E o campo elétrico reconstruído a partir do potencial coincide com o campo calculado inicialmente.

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