1- Uma cultura de bactérias é modelada matematicamente por uma equação diferencial linear de primeira ordem homogênea, cuja taxa de crescimento
é proporcional ao número de bactérias presentes no instante
, ou seja,
A quantidade inicial de bactérias é conhecida, ou seja,
. Sabendo que a quantidade inicial de bactérias dobra em uma hora, em quanto tempo a quantidade inicial de bactérias triplicará?
Passo 1
O enunciado dá o modelo de crescimento
com
. Foi dada a informação de que a quantidade inicial dobra em uma hora, ou seja
. A pergunta é: em quanto tempo a quantidade inicial triplicará, isto é, achar
tal que
.
Passo 2
Vamos explicitar o que cada coisa significa, porque isso ajuda a não se perder na prova. Aqui:
-
é o número de bactérias no instante (medido em horas). -
é a quantidade inicial em . -
é a taxa de crescimento (constante).
A soluçãovem do fato de que a derivada é proporcional à própria função — isso gera crescimento exponencial com base .
Passo 3
Use a informação do enunciado sobre o dobro em uma hora. Substituímos
na solução:
Cancelamos
(assumindo
) e obtemos
Passo 4
Para isolar
usamos o logaritmo natural, que é a função inversa da exponencial
. Aplicando
em ambos os lados:
Breve explicação:
é o logaritmo na base
. Como
, tomar
dá
.
Passo 5
Agora impomos a condição de triplicar: queremos
tal que
Substituindo a expressão de
:
Cancelamos
novamente e ficamos com
Passo 6
Tomamos
em ambos os lados para eliminar a exponencial:
Agora isolamos
:
Passo 7
Substituímos
obtido antes:
Observação prática: essa fração é exatamente
, ou seja, o número de “dobramentos” necessários para alcançar um fator 3.
Passo 8
Calculando numericamente (para ter uma resposta em horas):
Convertendo para horas, minutos e segundos: a parte inteira é
hora; a parte fracionária
minutos, ou seja
minutos e
segundos. Portanto cerca de
hora
minutos
segundos.