1- Uma cultura de bactérias é modelada matematicamente por uma equação diferencial linear de primeira ordem homogênea, cuja taxa de crescimento \alpha é proporcional ao número de bactérias presentes no instante t, ou seja,
\frac{d x(t)}{d t}=\alpha x(t) \Rightarrow x(t)=x_{0} e^{\alpha t}
A quantidade inicial de bactérias é conhecida, ou seja, x(0)=x_{0}. Sabendo que a quantidade inicial de bactérias dobra em uma hora, em quanto tempo a quantidade inicial de bactérias triplicará?

Passo 1

O enunciado dá o modelo de crescimento
\frac{d x(t)}{d t}=\alpha x(t)\Rightarrow x(t)=x_{0}e^{\alpha t},
com x(0)=x_{0}. Foi dada a informação de que a quantidade inicial dobra em uma hora, ou seja x(1)=2x_{0}. A pergunta é: em quanto tempo a quantidade inicial triplicará, isto é, achar t tal que x(t)=3x_{0}.

Passo 2

Vamos explicitar o que cada coisa significa, porque isso ajuda a não se perder na prova. Aqui:
  • x(t) é o número de bactérias no instante t (medido em horas).
  • x_{0} é a quantidade inicial em t=0.
  • \alpha é a taxa de crescimento (constante).
    A solução x(t)=x_{0}e^{\alpha t} vem do fato de que a derivada é proporcional à própria função — isso gera crescimento exponencial com base e.

Passo 3

Use a informação do enunciado sobre o dobro em uma hora. Substituímos t=1 na solução:
x(1)=x_{0}e^{\alpha\cdot 1}=2x_{0}.
Cancelamos x_{0} (assumindo x_{0}\neq 0) e obtemos
e^{\alpha}=2.

Passo 4

Para isolar \alpha usamos o logaritmo natural, que é a função inversa da exponencial e^{(\cdot)}. Aplicando \ln em ambos os lados:
\alpha=\ln 2.
Breve explicação: \ln é o logaritmo na base e. Como e^{\alpha}=2, tomar \ln \alpha=\ln(2).

Passo 5

Agora impomos a condição de triplicar: queremos t tal que
x(t)=3x_{0}.
Substituindo a expressão de x(t):
x_{0}e^{\alpha t}=3x_{0}.
Cancelamos x_{0} novamente e ficamos com
e^{\alpha t}=3.

Passo 6

Tomamos \ln em ambos os lados para eliminar a exponencial:
\alpha t=\ln 3.
Agora isolamos t:
t=\frac{\ln 3}{\alpha}.

Passo 7

Substituímos \alpha=\ln 2 obtido antes:
t=\frac{\ln 3}{\ln 2}.
Observação prática: essa fração é exatamente \log_{2}3, ou seja, o número de “dobramentos” necessários para alcançar um fator 3.

Passo 8

Calculando numericamente (para ter uma resposta em horas):
t=\frac{\ln 3}{\ln 2}\approx 1{,}5849625\\ \text{horas}.
Convertendo para horas, minutos e segundos: a parte inteira é 1 hora; a parte fracionária 0{,}5849625\times 60\approx 35{,}09775 minutos, ou seja 35 minutos e 0{,}09775\times 60\approx 5{,}9 segundos. Portanto cerca de 1 hora 35 minutos 6 segundos.

Resposta

\displaystyle t=\frac{\ln 3}{\ln 2}\approx 1{,}585\\ \text{horas}\approx 1\\ \text{h}\\\ 35\\ \text{min}\\\ 6\\ \text{s}

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