9- Em uma cultura batelada a volume constante, foram obtidos os seguintes dados experimentais:
Tempo (h)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1,0
1,1
1,6
2,5
3,8
5,9
7,0
7,9
8,5
8,7
9,3
9,6
9,3
9,5
Pede-se:
a) Identificar as fases de crescimento do microrganismo;
b) O tempo que o microrganismo leva para duplicar a sua massa;
c) A produtividade máxima em células que pode ser obtida desse processo.
| Tempo (h) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
|
|
1,0 | 1,1 | 1,6 | 2,5 | 3,8 | 5,9 | 7,0 | 7,9 | 8,5 | 8,7 | 9,3 | 9,6 | 9,3 | 9,5 |
a) Identificar as fases de crescimento do microrganismo;
b) O tempo que o microrganismo leva para duplicar a sua massa;
c) A produtividade máxima em células que pode ser obtida desse processo.
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com tempo (em horas) e concentração celular
(em g/L) nos tempos
h:
O que o problema pede:
a) Identificar as fases de crescimento do microrganismo (por exemplo: lag, exponencial, desaceleração, estacionária/declínio) e indicar em que intervalos de tempo cada fase ocorre.
b) Calcular o tempo de duplicação (tempo que o microrganismo leva para duplicar a massa).
c) Determinar a produtividade máxima em células que pode ser obtida desse processo.
a) Identificar as fases de crescimento do microrganismo (por exemplo: lag, exponencial, desaceleração, estacionária/declínio) e indicar em que intervalos de tempo cada fase ocorre.
b) Calcular o tempo de duplicação (tempo que o microrganismo leva para duplicar a massa).
c) Determinar a produtividade máxima em células que pode ser obtida desse processo.
Informações relevantes identificadas na tabela que usaremos:
- Valores de
a cada hora (listados acima). - Precisaremos calcular inclinações/slope de
(variações por hora) para achar produtividade instantânea máxima. - Para o tempo de duplicação vamos aproveitar a fase exponencial: transformamos
por e estimamos a taxa específica de crescimento na fase exponencial (reta em vs ).
Passo 2
Entendendo como identificar as fases a partir dos dados (aula rápida e prática).
- Lag (adaptação): pouco ou nenhum aumento de
no início; muito pequeno. - Exponencial (log): crescimento rápido, em que
cresce aproximadamente de forma exponencial. Em gráficos, versus aparece aproximadamente como uma reta; a inclinação dessa reta é a taxa específica . - Desaceleração/transição: a velocidade de aumento de
diminui; curva começa a arredondar. - Estacionária/declínio:
se estabiliza ou decresce (captação de nutrientes, inibição por produto, etc.).
Método prático que vou aplicar:
- Calcular incrementos
por intervalo de 1 h para ver onde o crescimento é mais rápido e onde cai. - Calcular
e fazer uma regressão linear (mínimos quadrados) no intervalo que parece exponencial para obter . - A partir de
calcular o tempo de duplicação . - Para produtividade máxima, comparar os incrementos por hora
e escolher o maior (volumétrica: g·L{-1}·h{-1}). Também anotar a concentração máxima observada .
Passo 3
Calcular
para cada ponto e os incrementos
por hora (vou mostrar os pontos relevantes). Valores usados (peguei-os da tabela do enunciado):
Tabela parcial com
(valores arredondados razoavelmente para facilitar contas):
Incrementos
entre horas sucessivas (variação por 1 h):
Observação: o maior incremento por hora é
entre
e
.
Passo 4
Determinar o intervalo exponencial (onde
vs
é aproximadamente linear).
- Olhando para
na tabela, de a os valores crescem quase linearmente: . Portanto escolhemos o intervalo a como fase exponencial para estimar .
Agora vamos calcular a taxa específica de crescimento
ajustando uma reta por mínimos quadrados a
em
.
Fórmula da inclinação (coeficiente angular) da reta por mínimos quadrados:
Fórmula da inclinação (coeficiente angular) da reta por mínimos quadrados:
onde
é o número de pontos (aqui
),
são os tempos e
os logaritmos.
Cálculos (peguei os
da tabela acima):
Substituindo:
Explicando:
mede a taxa relativa de aumento da biomassa por hora durante a fase exponencial. É o declive da reta em
vs
.
Passo 5
Calcular o tempo de duplicação
.
Fórmula (essa é padrão):
Fórmula (essa é padrão):
Substituindo
e
:
Interpretação didática: isso significa que, durante a fase exponencial, a massa celular dobra aproximadamente a cada
horas. Na prova, ao ver um conjunto de dados, você deve:
- transformar
em , - procurar um intervalo em que
seja aproximadamente linear, - calcular a inclinação (pelo método direto com dois pontos ou por regressão para mais pontos) e aplicar
.
Passo 6
Determinar a produtividade máxima (interpretação prática e cálculo).
- Produtividade volumétrica instantânea aproximada por intervalos
(g·L{-1}·h{-1}). - Na tabela de incrementos (Passo 3) vimos que o maior incremento por hora é
entre
e
. Isso representa a maior produtividade observada experimentalmente (por hora) nesse batelão.
- Observação adicional: a concentração máxima de biomassa experimentada foi
em h (peguei esse valor da tabela).
Comentário prático para prova: se te perguntarem “produtividade máxima” confirme se querem produtividade volumétrica (g·L{-1}·h{-1}) — que é o que calculei — ou concentração máxima (g·L^{-1}) — que também é útil. Aqui dei os dois: a produtividade máxima observada foi
(intervalo
h) e a concentração máxima observada foi
(em
h).
Passo 7
Resumo final das fases (orientação prática para marcar em prova):
- Lag: praticamente
a h (aumentos muito pequenos: de para g/L). - Exponencial: aproximadamente
h até h (a se comporta linearmente; crescimento rápido). - Desaceleração/transição: aproximadamente
h até h (as taxas por hora caem: de para g·L{-1}·h{-1})). - Estacionária (ou platô leve): a partir de
h até h os valores ficam em torno de – g/L (pequenas flutuações, sem crescimento consistente).
Resposta
(a) Lag:
a
h; Exponencial:
h a
h; Desaceleração:
h a
h; Estacionária/platô:
h a
h.
(b) Tempo de duplicação
.
(c) Produtividade máxima observada
(entre
e
h). Concentração máxima observada
(em
h).