9- Em uma cultura batelada a volume constante, foram obtidos os seguintes dados experimentais:
Tempo (h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
\mathbf{X}(\mathbf{g} / \mathbf{L}) 1,0 1,1 1,6 2,5 3,8 5,9 7,0 7,9 8,5 8,7 9,3 9,6 9,3 9,5
Pede-se:
a) Identificar as fases de crescimento do microrganismo;
b) O tempo que o microrganismo leva para duplicar a sua massa;
c) A produtividade máxima em células que pode ser obtida desse processo.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com tempo (em horas) e concentração celular X (em g/L) nos tempos t=0,1,\dots,13 h:
\begin{array}{c|ccccccccccccc} t\\ (\text{h}) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13\\hline X\\ (\text{g/L}) & 1,0 & 1,1 & 1,6 & 2,5 & 3,8 & 5,9 & 7,0 & 7,9 & 8,5 & 8,7 & 9,3 & 9,6 & 9,3 & 9,5 \end{array}
O que o problema pede:
a) Identificar as fases de crescimento do microrganismo (por exemplo: lag, exponencial, desaceleração, estacionária/declínio) e indicar em que intervalos de tempo cada fase ocorre.
b) Calcular o tempo de duplicação (tempo que o microrganismo leva para duplicar a massa).
c) Determinar a produtividade máxima em células que pode ser obtida desse processo.
Informações relevantes identificadas na tabela que usaremos:
  • Valores de X a cada hora (listados acima).
  • Precisaremos calcular inclinações/slope de X (variações por hora) para achar produtividade instantânea máxima.
  • Para o tempo de duplicação vamos aproveitar a fase exponencial: transformamos X por \ln X e estimamos a taxa específica de crescimento \mu na fase exponencial (reta em \ln X vs t).

Passo 2

Entendendo como identificar as fases a partir dos dados (aula rápida e prática).
  • Lag (adaptação): pouco ou nenhum aumento de X no início; \Delta X muito pequeno.
  • Exponencial (log): crescimento rápido, em que X(t) cresce aproximadamente de forma exponencial. Em gráficos, \ln X versus t aparece aproximadamente como uma reta; a inclinação dessa reta é a taxa específica \mu.
  • Desaceleração/transição: a velocidade de aumento de X diminui; curva começa a arredondar.
  • Estacionária/declínio: X se estabiliza ou decresce (captação de nutrientes, inibição por produto, etc.).
Método prático que vou aplicar:
  1. Calcular incrementos \Delta X/\Delta t por intervalo de 1 h para ver onde o crescimento é mais rápido e onde cai.
  2. Calcular \ln X e fazer uma regressão linear (mínimos quadrados) no intervalo que parece exponencial para obter \mu.
  3. A partir de \mu calcular o tempo de duplicação t_d = \dfrac{\ln 2}{\mu}.
  4. Para produtividade máxima, comparar os incrementos por hora \Delta X/\Delta t e escolher o maior (volumétrica: g·L{-1}·h{-1}). Também anotar a concentração máxima observada X_{\max}.

Passo 3

Calcular \ln X para cada ponto e os incrementos \Delta X por hora (vou mostrar os pontos relevantes). Valores usados (peguei-os da tabela do enunciado):
Tabela parcial com \ln X (valores arredondados razoavelmente para facilitar contas):
\begin{array}{c|ccccccccccccc} t\\ (\text{h}) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13\\hline X\\ (\text{g/L}) & 1,0 & 1,1 & 1,6 & 2,5 & 3,8 & 5,9 & 7,0 & 7,9 & 8,5 & 8,7 & 9,3 & 9,6 & 9,3 & 9,5\\hline \ln X & 0,000 & 0,095 & 0,470 & 0,916 & 1,335 & 1,775 & 1,946 & 2,068 & 2,140 & 2,163 & 2,230 & 2,262 & 2,230 & 2,252 \end{array}
Incrementos \Delta X/\Delta t entre horas sucessivas (variação por 1 h):
\begin{aligned} &1\to2:\\\ 1{,}6-1{,}1=0{,}5\\ (\text{g·L}^{-1}\text{·h}^{-1})\\\ &2\to3:\\\ 2{,}5-1{,}6=0{,}9}\\\ &3\to4:\\\ 3{,}8-2{,}5=1{,}3}\\\ &4\to5:\\\ 5{,}9-3{,}8=2{,}1}\\\ &5\to6:\\\ 7{,}0-5{,}9=1{,}1}\\\ &6\to7:\\\ 7{,}9-7{,}0=0{,}9}\\\ &7\to8:\\\ 8{,}5-7{,}9=0{,}6}\\\ &8\to9:\\\ 8{,}7-8{,}5=0{,}2}\\\ &9\to10:\\\ 9{,}3-8{,}7=0{,}6}\\\ &10\to11:\\\ 9{,}6-9{,}3=0{,}3}\\\ &11\to12:\\\ 9{,}3-9{,}6=-0{,}3}\\\ &12\to13:\\\ 9{,}5-9{,}3=0{,}2 \end{aligned}
Observação: o maior incremento por hora é 2{,}1\\ \text{g·L}^{-1}\text{·h}^{-1} entre t=4 e t=5.

Passo 4

Determinar o intervalo exponencial (onde \ln X vs t é aproximadamente linear).
  • Olhando para \ln X na tabela, de t=1 a t=6 os valores crescem quase linearmente: 0{,}095 \to 1{,}946. Portanto escolhemos o intervalo t=1 a t=6 como fase exponencial para estimar \mu.
Agora vamos calcular a taxa específica de crescimento \mu ajustando uma reta por mínimos quadrados a (t,\ln X) em t=1,\dots,6.
Fórmula da inclinação (coeficiente angular) da reta por mínimos quadrados:
\mu = \frac{n\sum t_i\ln X_i - \sum t_i\sum \ln X_i}{n\sum t_i^2 - (\sum t_i)^2}
onde n é o número de pontos (aqui n=6), t_i são os tempos e \ln X_i os logaritmos.
Cálculos (peguei os \ln X da tabela acima):
\begin{aligned} &\sum t_i = 1+2+3+4+5+6 = 21,\\\ &\sum t_i^2 = 1^2+2^2+\dots+6^2 = 91,\\\ &\sum \ln X_i = 0{,}095+0{,}470+0{,}916+1{,}335+1{,}775+1{,}946 = 6{,}537\\ (\text{aprox.}),\\\ &\sum t_i\ln X_i = 1\cdot0{,}095+2\cdot0{,}470+3\cdot0{,}916+4\cdot1{,}335+5\cdot1{,}775+6\cdot1{,}946 = 29{,}674\\ (\text{aprox.}). \end{aligned}
Substituindo:
\mu = \frac{6\cdot29{,}674 - 21\cdot6{,}537}{6\cdot91 - 21^2} = \frac{178{,}044 - 137{,}285}{546 - 441} = \frac{40{,}759}{105} \approx 0{,}388\\ \text{h}^{-1}.
Explicando: \mu mede a taxa relativa de aumento da biomassa por hora durante a fase exponencial. É o declive da reta em \ln X vs t.

Passo 5

Calcular o tempo de duplicação t_d.
Fórmula (essa é padrão):
t_d = \frac{\ln 2}{\mu}.
Substituindo \ln 2 \approx 0{,}6931 e \mu \approx 0{,}388\\ \text{h}^{-1}:
t_d \approx \frac{0{,}6931}{0{,}388} \approx 1{,}79\\ \text{h}.
Interpretação didática: isso significa que, durante a fase exponencial, a massa celular dobra aproximadamente a cada 1{,}8 horas. Na prova, ao ver um conjunto de dados, você deve:
  • transformar X em \ln X,
  • procurar um intervalo em que \ln X seja aproximadamente linear,
  • calcular a inclinação (pelo método direto com dois pontos ou por regressão para mais pontos) e aplicar t_d=\ln2/\mu.

Passo 6

Determinar a produtividade máxima (interpretação prática e cálculo).
  • Produtividade volumétrica instantânea aproximada por intervalos \approx \Delta X/\Delta t (g·L{-1}·h{-1}).
  • Na tabela de incrementos (Passo 3) vimos que o maior incremento por hora é
\Delta X/\Delta t = 2{,}1\\ \text{g·L}^{-1}\text{·h}^{-1}
entre t=4 e t=5. Isso representa a maior produtividade observada experimentalmente (por hora) nesse batelão.
  • Observação adicional: a concentração máxima de biomassa experimentada foi X_{\max}=9{,}6\\ \text{g·L}^{-1} em t=11 h (peguei esse valor da tabela).
Comentário prático para prova: se te perguntarem “produtividade máxima” confirme se querem produtividade volumétrica (g·L{-1}·h{-1}) — que é o que calculei — ou concentração máxima (g·L^{-1}) — que também é útil. Aqui dei os dois: a produtividade máxima observada foi 2{,}1\\ \text{g·L}^{-1}\text{·h}^{-1} (intervalo 4\to5 h) e a concentração máxima observada foi 9{,}6\\ \text{g·L}^{-1} (em 11 h).

Passo 7

Resumo final das fases (orientação prática para marcar em prova):
  • Lag: praticamente t=0 a t\approx 1 h (aumentos muito pequenos: de 1{,}0 para 1{,}1 g/L).
  • Exponencial: aproximadamente t\approx 1 h até t\approx 6 h (a \ln X se comporta linearmente; crescimento rápido).
  • Desaceleração/transição: aproximadamente t\approx 6 h até t\approx 9 h (as taxas por hora caem: de 1{,}1 para 0{,}2 g·L{-1}·h{-1})).
  • Estacionária (ou platô leve): a partir de t\approx 9 h até t=13 h os valores ficam em torno de 9{,}3 9{,}6 g/L (pequenas flutuações, sem crescimento consistente).

Resposta

(a) Lag: t=0 a t\approx 1 h; Exponencial: t\approx 1 h a t\approx 6 h; Desaceleração: t\approx 6 h a t\approx 9 h; Estacionária/platô: t\approx 9 h a t=13 h.
(b) Tempo de duplicação t_d \approx 1{,}79\\ \text{h}.
(c) Produtividade máxima observada =2{,}1\\ \text{g·L}^{-1}\text{·h}^{-1} (entre t=4 e t=5 h). Concentração máxima observada X_{\max}=9{,}6\\ \text{g·L}^{-1} (em t=11 h).

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