(Curso de Hidráulica de Eurico Trindade Neves) Um bocal cônico, com \mathrm{Cc}=0,93 e \mathrm{Cv}=0,95 e 50 mm de diâmetro na seção de saída, está adaptado à extremidade de um conduto de 150 mm . qual a pressão que deve ser mantida na entrada do bocal, para que o mesmo forneça 40 \mathrm{~L} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado pede a pressão que deve ser mantida na entrada do bocal para que ele forneça 40\\ \mathrm{L/s}.
Dados fornecidos (vou listar tudo para a gente não perder nada):
\begin{aligned} &\text{Vazão } Q = 40\\ \mathrm{L/s} = 0,04\\ \mathrm{m^{3}/s},\\\ &\text{Diâmetro da seção de saída do bocal } D_{e} = 50\\ \mathrm{mm} = 0,05\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Diâmetro do conduto de entrada } D_{1} = 150\\ \mathrm{mm} = 0,15\\ \mathrm{m}\quad(\text{informação de montagem}),\\\ &\mathrm{C_c} = 0,93\quad(\text{coeficiente de contração}),\\\ &\mathrm{C_v} = 0,95\quad(\text{coeficiente de velocidade}). \end{aligned}ãâçãíâçãçã
Pressão de saída não foi explicitada no enunciado; vou assumir que o bocal descarrega para a atmosfera (pressão de saída atmosférica), então a pressão requerida na entrada será o excesso de pressão sobre a atmosfera (pressão manométrica). Também vou assumir água com massa específica \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Entendendo os coeficientes e a fórmula que vamos usar (aula rápida, calma que eu explico):
  • \mathrm{C_c} (coeficiente de contração) é a razão entre a área da vena contrata A_c e a área geométrica da saída A_e:
A_c = \mathrm{C_c}\,A_e.
  • \mathrm{C_v} (coeficiente de velocidade) relaciona a velocidade real na vena contrata v_c com a velocidade teórica dada por Bernoulli \sqrt{2\Delta p/\rho}:
v_c = \mathrm{C_v}\,\sqrt{\tfrac{2\Delta p}{\rho}},
onde \Delta p = p_{\text{entrada}}-p_{\text{saída}}í.
  • O coeficiente de descarga total \mathrm{C_d} é o produto
\mathrm{C_d}=\mathrm{C_c}\,\mathrm{C_v},
e combina contração e perda de velocidade. A relação prática entre vazão Q e queda de pressão \Delta p é a bem conhecida:
Q=\mathrm{C_d}\,A_e\,\sqrt{\tfrac{2\Delta p}{\rho}}.
Aqui cada termo significa:
  • Q: vazão volumétrica real ( \mathrm{m^3/s});
  • \mathrm{C_d}: coeficiente de descarga (adimensional);
  • A_e: área geométrica da saída ( \mathrm{m^2});
  • \rho: densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^3});
  • \Delta p: diferença de pressão entre entrada e saída ( \mathrm{Pa}).

Passo 3

Isolando \Delta p da fórmula acima (isso vai nos dar a pressão necessária):
\begin{aligned} Q &= \mathrm{C_d}\,A_e\,\sqrt{\tfrac{2\Delta p}{\rho}} \\\ \Rightarrow \sqrt{\tfrac{2\Delta p}{\rho}} &= \frac{Q}{\mathrm{C_d}\,A_e} \\\ \Rightarrow \Delta p &= \frac{\rho}{2}\left(\frac{Q}{\mathrm{C_d}\,A_e}\right)^{2}. \end{aligned}
Explicando: primeiro isolamos a raiz quadrada, depois elevamos ao quadrado e multiplicamos por \rho/2. Essa \Delta p é a pressão diferencial necessária entre entrada e saída.

Passo 4

Calcular áreas e coeficiente de descarga:
\begin{aligned} A_e &= \pi\left(\frac{D_e}{2}\right)^{2} = \pi\left(\frac{0,05}{2}\right)^{2} = \pi(0,025)^{2} = 0,0019635\\ \mathrm{m^{2}}\\ (\text{aprox.}),\\[4pt] \mathrm{C_d} &= \mathrm{C_c}\,\mathrm{C_v} = 0,93\cdot 0,95 = 0,8835\\ (\text{adimensional}). \end{aligned}]

Passo 5

Agora calcular o termo \dfrac{Q}{\mathrm{C_d}\,A_e} que aparece na fórmula de \Delta p:
\mathrm{C_d}\,A_e = 0,8835\cdot 0,0019635 \approx 0,0017348\\ \mathrm{m^{2}}.
\frac{Q}{\mathrm{C_d}\,A_e} = \frac{0,04}{0,0017348} \approx 23,09\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação física rápida: esse valor é a velocidade teórica associada à queda de pressão (a raiz de 2\Delta p/\rho).

Passo 6

Calcular \Delta p:
\Delta p = \frac{\rho}{2}\left(\frac{Q}{\mathrm{C_d}\,A_e}\right)^{2} = \frac{1000}{2}\,(23,09)^{2} =500\cdot 533,1\approx 266\,550\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando de forma conveniente: \Delta p \approx 2,66\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, ou em unidades mais usuais, \approx 266\\ \mathrm{kPa}. Como assumimos descarga para a atmosfera, essa \Delta p é a pressão manométrica que deve existir na entrada do bocal.

Passo 7

Pequeno cheque de consistência (pra gente ficar tranquilo): velocidade média real na saída v_e deve ser
v_e=\frac{Q}{A_e}=\frac{0,04}{0,0019635}\approx 20,37\\ \mathrm{m/s},
e a velocidade na vena contrata (área menor) é
A_c=\mathrm{C_c}\,A_e\approx 0,93\cdot0,0019635\approx 0,0018241\\ \mathrm{m^{2}},
v_c=\frac{Q}{A_c}\approx \frac{0,04}{0,0018241}\approx 21,94\\ \mathrm{m/s}.
Como \mathrm{C_v}=0,95, a velocidade teórica \sqrt{2\Delta p/\rho} é v_c/\mathrm{C_v}\approx 23,09\\ \mathrm{m/s}, coincidindo com o valor que usamos — ótimo, tudo consistente.

Resposta

p_{\text{entrada (manométrica)}} \approx 2,66\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}é

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