(Curso de Hidráulica de Eurico Trindade Neves) Qual o diâmetro que deve ser dado a uma comporta circular de coeficiente de vazão 0,62 e como centro a 2 m abaixo do nível do reservatório, para que a mesma dê escoamento de 500 L/s?

Passo 1

O enunciado pede para determinar o diâmetro de uma comporta circular, sabendo que: \n
  • A vazão desejada é \,Q=500\\ \text{L/s}.\n
  • O coeficiente de vazão da comporta é \,C_d=0{,}62.\n
  • O centro da comporta está a \,2\\ \text{m} abaixo do nível do reservatório (ou seja, a profundidade ao centro é \,h=2\\ \text{m}).\n
    A pergunta explícita: “Qual o diâmetro que deve ser dado à comporta para que ela dê escoamento de 500\\ \text{L/s}?”\n
    Essas são todas as informações relevantes que o enunciado fornece.

Passo 2

Vamos escrever a fórmula básica de escoamento por orifício (ou comporta livre em reservatório grande). A fórmula da vazão é
Q = C_d\,A\,\sqrt{2 g h},
onde:\n
  • \,Q é a vazão volumétrica (m³/s),\n
  • \,C_d é o coeficiente de vazão (adimensional) que engloba a contração e perdas,\n
  • \,A é a área da seção da comporta (m²),\n
  • \,g é a aceleração da gravidade (m/s²),\n
  • \,h é a distância vertical do nível livre até o centro do orifício (m). \n\n
    Breve explicação pedagógica e intuitiva: a pressão hidrostática ao nível do centro gera uma velocidade teórica \sqrt{2gh} (teorema de Bernoulli para queda livre de fluido), mas a vazão real é menor por efeitos de contração e perdas; por isso multiplicamos pela área efetiva A e pelo fator empírico C_d.

Passo 3

Converter unidades e anotar constantes numéricas.\n
  • \,Q=500\\ \text{L/s}=0{,}500\\ \text{m}^3\!/\text{s}. (pois 1\\ \text{L}=10^{-3}\\ \text{m}^3).\n
  • Aceleracão da gravidade: \,g=9{,}81\\ \text{m/s}^2.\n
  • Profundidade: \,h=2\\ \text{m}.\n
  • Coeficiente: \,C_d=0{,}62.

Passo 4

Isolar a área \,A na fórmula de vazão. A partir de
Q = C_d\,A\,\sqrt{2 g h},
temos
A = \frac{Q}{C_d\,\sqrt{2 g h}}.
Aqui estamos resolvendo em álgebra simples: dividimos ambos os lados por C_d\sqrt{2gh}. Isso nos dá a área necessária da abertura para produzir Q.

Passo 5

Calcular numericamente \sqrt{2 g h}.\n
Primeiro calcule o produto dentro da raiz:
2 g h = 2 \cdot 9{,}81 \cdot 2 = 39{,}24\\ \text{m}^2\!/\text{s}^2.
Agora a raiz:
\sqrt{2 g h} = \sqrt{39{,}24} \approx 6{,}263\\ \text{m/s}.
(Arredondamento típico de engenharia; mantemos 3 casas significativas neste passo.)

Passo 6

Calcular a área \,A usando os valores numéricos:
A = \frac{Q}{C_d\,\sqrt{2 g h}} = \frac{0{,}500}{0{,}62\cdot 6{,}263}.
Calcule o denominador:
0{,}62\cdot 6{,}263 \approx 3{,}883.
Logo
A \approx \frac{0{,}500}{3{,}883} \approx 0{,}1287\\ \text{m}^2.
Interpretação: precisamos de uma área de seção livre de aproximadamente \,0{,}1287\\ \text{m}^2 para atingir a vazão desejada com esse coeficiente e essa profundidade.

Passo 7

Passar da área para o diâmetro. Para uma comporta circular a área é
A = \frac{\pi D^2}{4}.
Isolando D:
D = \sqrt{\frac{4A}{\pi}}.
Substituindo A\approx 0{,}1287\\ \text{m}^2:
D \approx \sqrt{\frac{4\cdot 0{,}1287}{\pi}}.
Calcule passo a passo: 4A = 0{,}5148. Dividindo por \pi:
\frac{4A}{\pi} \approx \frac{0{,}5148}{3{,}1416} \approx 0{,}1639.
Agora a raiz:
D \approx \sqrt{0{,}1639} \approx 0{,}405\\ \text{m}.

Passo 8

Interpretação e verificação rápida: \n
  • O diâmetro calculado é \,D\approx 0{,}405\\ \text{m}, ou seja cerca de 405\\ \text{mm}.\n
  • Se você quiser arredondar para uma dimensão comercial, pode adotar \,D=410\\ \text{mm} ou 400\\ \text{mm} dependendo das normas e folgas (mas note que 400 mm daria vazão ligeiramente menor; 410 mm ligeiramente maior). \n
  • Verificação rápida plugando de volta: com D=0{,}405\\ \text{m}, A=\pi D^2/4\approx 0{,}1287\\ \text{m}^2, então Q=C_d A \sqrt{2gh}\approx 0{,}62\cdot 0{,}1287\cdot 6{,}263\approx 0{,}500\\ \text{m}^3/s (consistente).

Resposta

D \approx 0{,}405\\ \text{m} (aprox. 405\\ \text{mm})

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