A curva característica de uma bomba, para uma determinada rotação constante, é mostrada na tabela a seguir. Essa bomba deverá ser utilizada para bombear água através de
uma tubulação de
de diâmetro, 21 m de comprimento, fator de atrito
e altura geométrica de
. Determine a potência necessária para o conjunto em seu ponto de funcionamento. Desprezar as perdas localizadas.
KW (4,9cv ou 5 cv comercial)]
16,2
13,6
11,9
11,6
10,7
9,0
6,4
0
14
34
60
80
80
60
uma tubulação de
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16,2 | 13,6 | 11,9 | 11,6 | 10,7 | 9,0 | 6,4 |
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0 | 14 | 34 | 60 | 80 | 80 | 60 |
Passo 1
O enunciado pede a potência elétrica (necessária ao conjunto bomba + motor) no ponto de funcionamento da bomba. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
- Diâmetro da tubulação:
. - Comprimento da tubulação:
. - Fator de atrito (valor de Darcy):
. - Altura geométrica (diferença de cota):
. - Desprezar perdas localizadas.
- Tabela curva da bomba (dados fornecidos no enunciado):
- Propriedades da água (assumir):
, .
O objetivo prático: determinar o ponto de operação
tal que a curva da bomba
= curva do sistema
, depois calcular a potência útil (hidráulica) e a potência requerida na boca do motor considerando a eficiência da bomba.
Passo 2
Modelo do sistema hidráulico (perdas por atrito mais a elevação geométrica).
A perda por atrito (fórmula de Darcy–Weisbach) é
onde
é a velocidade média do escoamento na tubulação. Explico cada termo:
-
é o fator de atrito (adimensional). -
é o comprimento equivalente adimensional. -
é a velocidade média (m/s). -
é a aceleração da gravidade (m/s^2). - O termo
é a “cabeça de velocidade” (energia por unidade de peso).
A vazão volumétrica
está ligada à velocidade por
onde
é a área da seção transversal da tubulação. Para um diâmetro circular:
Substituindo
em
obtemos uma expressão em função de
:
onde definimos o coeficiente
A cabeça total do sistema é a soma da elevação geométrica mais a perda por atrito:
Passo 3
Calcular numericamente
e
.
Área da seção:
Área ao quadrado:
Coeficiente
:
Vou calcular passo a passo:
Portanto
e a cabeça do sistema é
Comentário rápido: esse número grande aparece porque
é pequeno (tubo estreito), então a perda por atrito cresce muito com
.
Passo 4
Representação da curva da bomba e escolha do método de interseção.
A tabela dá valores discretos de
x
. O ponto de operação costuma ficar na região média/alta de vazão; olhando a tabela vemos que a vazão de trabalho estará entre
e
(pois a perda do sistema é relativamente baixa). Então podemos aproximar a curva da bomba por interpolação linear entre os pontos
e
— isso é prático em prova e suficientemente preciso. Explico: interpolação linear entre dois pontos
e
dá
Aplicando aos pontos indicados:
Tomando
e
,
Desenvolvendo (para facilitar a equação a seguir):
Observação: essa é uma boa aproximação local da curva da bomba na faixa onde esperamos o ponto de operação.
Passo 5
Equacionar o ponto de operação e resolver numericamente.
No ponto de operação:
Substituindo as expressões obtidas:
Reorganizando para obter uma equação quadrática padrão:
Agora aplicamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). As constantes são:
O discriminante é
Calculemos:
Raiz do discriminante:
As raízes:
Tomamos a raiz positiva:
Converter para litros por segundo:
(A outra raiz é negativa e desprezamos.)
Passo 6
Calcular a cabeça correspondente no ponto de operação.
Usando a expressão do sistema (mais direta):
Com
:
Arredondando de forma usual:
.
Observação: deveria coincidir com
(pela equação resolvida) dentro de erros de aproximação pela interpolação da curva da bomba; a pequena diferença vem da aproximação linear local.
Passo 7
Determinar a eficiência da bomba no ponto de operação.
A tabela dá eficiencias em pontos discretos. O ponto de operação
está entre
(
) e
(
). Vamos interpolar linearmente a eficiência entre esses dois pontos.
Fração relativa dentro do intervalo:
A eficiência interpolada:
Em percentual:
. Arredondando comumente:
(fracionário) ou
.
(Se quisermos arredondar para dois algarismos binários práticos, muitas soluções reportam
por pequenas diferenças de interpolação; a ordem de grandeza é
.)
Passo 8
Calcular a potência hidráulica e a potência requerida (na entrada da bomba/ motor).
Potência hidráulica (util entregue ao fluido):
Com
,
,
,
:
Potência de eixo (potência elétrica necessária ao motor considerando eficiência da bomba):
Com
:
Arredondando para valores comerciais/práticos:
. Muitas respostas tabuladas costumam adotar
e então escolher um motor comercial de
(aprox.
) — essa é a recomendação prática.