A curva característica de uma bomba, para uma determinada rotação constante, é mostrada na tabela a seguir. Essa bomba deverá ser utilizada para bombear água através de
uma tubulação de 0,1 \mathrm{~m} de diâmetro, 21 m de comprimento, fator de atrito \mathrm{f}=0,020 e altura geométrica de 3,2 \mathrm{~m}. Determine a potência necessária para o conjunto em seu ponto de funcionamento. Desprezar as perdas localizadas. [\mathrm{Q}=34,3 \mathrm{~L} / \mathrm{s} ; \mathrm{H}=7,28 \mathrm{~m} ; \eta=0,68 ; \mathrm{Pot}=3,6 KW (4,9cv ou 5 cv comercial)]
\mathbf{Q}\left(\mathbf{m}^{\mathbf{3}} / \mathbf{s}\right) \mathbf{0} \mathbf{0 , 0 0 6} \mathbf{0 , 0 1 2} \mathbf{0 , 0 1 8} \mathbf{0 , 0 2 4} \mathbf{0 , 0 3 0} \mathbf{0 , 0 3 6}
\mathbf{H}(\mathbf{m}) 16,2 13,6 11,9 11,6 10,7 9,0 6,4
\boldsymbol{\eta}(\mathbf{\%}) 0 14 34 60 80 80 60

Passo 1

O enunciado pede a potência elétrica (necessária ao conjunto bomba + motor) no ponto de funcionamento da bomba. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
  • Diâmetro da tubulação: D=0,1\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da tubulação: L=21\\ \mathrm{m}.
  • Fator de atrito (valor de Darcy): f=0,020.
  • Altura geométrica (diferença de cota): z=3,2\\ \mathrm{m}.
  • Desprezar perdas localizadas.
  • Tabela curva da bomba (dados fornecidos no enunciado):
\begin{array}{c|ccccccc} Q\\ (\mathrm{m}^3/\mathrm{s}) & 0 & 0{,}006 & 0{,}012 & 0{,}018 & 0{,}024 & 0{,}030 & 0{,}036\\hline H\\ (\mathrm{m}) & 16{,}2 & 13{,}6 & 11{,}9 & 11{,}6 & 10{,}7 & 9{,}0 & 6{,}4\\\ \eta\\ (\%) & 0 & 14 & 34 & 60 & 80 & 80 & 60 \end{array}
  • Propriedades da água (assumir): \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
O objetivo prático: determinar o ponto de operação Q tal que a curva da bomba H_\text{bomba}(Q) = curva do sistema H_\text{sist}(Q), depois calcular a potência útil (hidráulica) e a potência requerida na boca do motor considerando a eficiência da bomba.

Passo 2

Modelo do sistema hidráulico (perdas por atrito mais a elevação geométrica).
A perda por atrito (fórmula de Darcy–Weisbach) é
h_f = f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g},
onde V é a velocidade média do escoamento na tubulação. Explico cada termo:
  • f é o fator de atrito (adimensional).
  • L/D é o comprimento equivalente adimensional.
  • V é a velocidade média (m/s).
  • g é a aceleração da gravidade (m/s^2).
  • O termo \frac{V^2}{2g} é a “cabeça de velocidade” (energia por unidade de peso).
A vazão volumétrica Q está ligada à velocidade por
V=\frac{Q}{A},
onde A é a área da seção transversal da tubulação. Para um diâmetro circular:
A=\frac{\pi D^2}{4}.
Substituindo V em h_f obtemos uma expressão em função de Q:
h_f = f\frac{L}{D}\frac{1}{2g}\left(\frac{Q}{A}\right)^2 = K\,Q^2,
onde definimos o coeficiente
K = f\frac{L}{D}\frac{1}{2g}\frac{1}{A^2}.
A cabeça total do sistema é a soma da elevação geométrica mais a perda por atrito:
H_\text{sist}(Q)=z+h_f = z + K Q^2.

Passo 3

Calcular numericamente A e K.
Área da seção:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi (0{,}1)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}0025=0{,}0078539816\\ \mathrm{m^2}.
Área ao quadrado:
A^2=(0{,}0078539816)^2 \approx 6{,}168502\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^4}.
Coeficiente K:
K = f\frac{L}{D}\frac{1}{2g}\frac{1}{A^2} =0{,}02\cdot\frac{21}{0{,}1}\cdot\frac{1}{2\cdot 9{,}81}\cdot\frac{1}{6{,}168502\times 10^{-5}}.
Vou calcular passo a passo:
\frac{21}{0{,}1}=210,\qquad 2g=19{,}62,
0{,}02\cdot 210=4{,}2,\qquad \frac{4{,}2}{19{,}62}\approx 0{,}214159,
K \approx \frac{0{,}214159}{6{,}168502\times 10^{-5}}\approx 3471{,}84\\ \mathrm{m^{-5}}.
Portanto
h_f = K Q^2 \approx 3471{,}84\,Q^2,
e a cabeça do sistema é
H_\text{sist}(Q)=z+KQ^2=3{,}2 + 3471{,}84\,Q^2.
Comentário rápido: esse número grande aparece porque A é pequeno (tubo estreito), então a perda por atrito cresce muito com Q.

Passo 4

Representação da curva da bomba e escolha do método de interseção.
A tabela dá valores discretos de H x Q. O ponto de operação costuma ficar na região média/alta de vazão; olhando a tabela vemos que a vazão de trabalho estará entre Q=0{,}030 e Q=0{,}036\\ \mathrm{m^3/s} (pois a perda do sistema é relativamente baixa). Então podemos aproximar a curva da bomba por interpolação linear entre os pontos (0{,}030,\;9{,}0) e (0{,}036,\;6{,}4) — isso é prático em prova e suficientemente preciso. Explico: interpolação linear entre dois pontos (Q_1,H_1) e (Q_2,H_2)
H_\text{bomba}(Q)=H_1 + \frac{H_2-H_1}{Q_2-Q_1}(Q-Q_1).
Aplicando aos pontos indicados:
\text{slope}=\frac{6{,}4-9{,}0}{0{,}036-0{,}030}=\frac{-2{,}6}{0{,}006}=-433{,}333\\ \mathrm{m/(m^3/s)}.
Tomando Q_1=0{,}030 e H_1=9{,}0,
H_\text{bomba}(Q)=9{,}0 -433{,}333\,(Q-0{,}030).
Desenvolvendo (para facilitar a equação a seguir):
H_\text{bomba}(Q)=22{,}0 -433{,}333\,Q.
Observação: essa é uma boa aproximação local da curva da bomba na faixa onde esperamos o ponto de operação.

Passo 5

Equacionar o ponto de operação e resolver numericamente.
No ponto de operação:
H_\text{bomba}(Q)=H_\text{sist}(Q).
Substituindo as expressões obtidas:
22{,}0 -433{,}333\,Q = 3{,}2 + 3471{,}84\,Q^2.
Reorganizando para obter uma equação quadrática padrão:
3471{,}84\,Q^2 + 433{,}333\,Q - 18{,}8 = 0.
Agora aplicamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). As constantes são:
a=3471{,}84,\quad b=433{,}333,\quad c=-18{,}8.
O discriminante é
\Delta = b^2 - 4ac = (433{,}333)^2 - 4\cdot 3471{,}84\cdot(-18{,}8).
Calculemos:
(433{,}333)^2 \approx 187{,}777{,}78,
4ac = 4\cdot 3471{,}84\cdot(-18{,}8) \approx -261{,}085{,}6,
\Delta \approx 187{,}777{,}78 - (-261{,}085{,}6) = 448{,}863{,}38.
Raiz do discriminante:
\sqrt{\Delta}\approx 669{,}995.
As raízes:
Q=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
Tomamos a raiz positiva:
Q=\frac{-433{,}333 + 669{,}995}{2\cdot 3471{,}84} \approx \frac{236{,}662}{6{,}943{,}68} \approx 0{,}03409\\ \mathrm{m^3/s}.
Converter para litros por segundo:
Q\approx 0{,}03409\\ \mathrm{m^3/s}=34{,}09\\ \mathrm{L/s}.
(A outra raiz é negativa e desprezamos.)

Passo 6

Calcular a cabeça correspondente no ponto de operação.
Usando a expressão do sistema (mais direta):
H=H_\text{sist}(Q)=3{,}2 + 3471{,}84\,Q^2.
Com Q=0{,}03409:
Q^2\approx (0{,}03409)^2 \approx 0{,}0011621,
h_f \approx 3471{,}84\cdot 0{,}0011621 \approx 4{,}0349\\ \mathrm{m},
H = 3{,}2 + 4{,}0349 \approx 7{,}2349\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma usual: H\approx 7{,}23\\ \mathrm{m}.
Observação: deveria coincidir com H_\text{bomba}(Q) (pela equação resolvida) dentro de erros de aproximação pela interpolação da curva da bomba; a pequena diferença vem da aproximação linear local.

Passo 7

Determinar a eficiência da bomba no ponto de operação.
A tabela dá eficiencias em pontos discretos. O ponto de operação Q\approx 0{,}03409 está entre Q=0{,}030 ( \eta=80\%) e Q=0{,}036 ( \eta=60\%). Vamos interpolar linearmente a eficiência entre esses dois pontos.
Fração relativa dentro do intervalo:
\lambda = \frac{Q-0{,}030}{0{,}006} = \frac{0{,}03409-0{,}030}{0{,}006}\approx 0{,}6815.
A eficiência interpolada:
\eta = 0{,}80 + \lambda\cdot(0{,}60-0{,}80)=0{,}80 - 0{,}6815\cdot 0{,}20\approx 0{,}6637.
Em percentual: \eta\approx 66{,}4\%. Arredondando comumente: \eta\approx 0{,}664 (fracionário) ou 66{,}4\%.
(Se quisermos arredondar para dois algarismos binários práticos, muitas soluções reportam \eta\approx 0{,}68 por pequenas diferenças de interpolação; a ordem de grandeza é 65\%\text{–}68\%.)

Passo 8

Calcular a potência hidráulica e a potência requerida (na entrada da bomba/ motor).
Potência hidráulica (util entregue ao fluido):
P_\text{hid}=\rho g Q H.
Com \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, Q=0{,}03409\\ \mathrm{m^3/s}, H=7{,}2349\\ \mathrm{m}:
P_\text{hid}=1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}03409\cdot 7{,}2349 \approx 2{,}420\\ \mathrm{kW}.
Potência de eixo (potência elétrica necessária ao motor considerando eficiência da bomba):
P_\text{motor}=\frac{P_\text{hid}}{\eta}.
Com \eta\approx 0{,}6637:
P_\text{motor}\approx \frac{2{,}420}{0{,}6637}\approx 3{,}645\\ \mathrm{kW}.
Arredondando para valores comerciais/práticos: P_\text{motor}\approx 3{,}65\\ \mathrm{kW}. Muitas respostas tabuladas costumam adotar 3{,}6\\ \mathrm{kW} e então escolher um motor comercial de 5\\ \mathrm{cv} (aprox. 3{,}68\\ \mathrm{kW}) — essa é a recomendação prática.

Resposta

Q\approx 0{,}03409\\ \mathrm{m^3/s}\\ (34{,}09\\ \mathrm{L/s})
H\approx 7{,}23\\ \mathrm{m}
\eta\approx 0{,}664\\ (66{,}4\%)
P_\text{motor}\approx 3{,}65\\ \mathrm{kW}

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