Escreva o Teorema de Transporte de Reynolds e explique o que significa cada um dos termos. Baseado nele obtenha a equação da conservação da massa e da quantidade de movimento linear e angular.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Escrever o Teorema de Transporte de Reynolds (RTT) e explicar o significado de cada termo.
- A partir do RTT, obter a equação da conservação da massa.
- A partir do RTT, obter a equação da conservação da quantidade de movimento linear.
- A partir do RTT, obter a equação da conservação da quantidade de movimento angular.
Informações / coisas que podemos usar (pressupostos padrão de um problema de mecânica de fluidos/continua):
- Temos um campo de densidade
e um campo de velocidade definidos no domínio do fluido. - Podemos usar um volume de controle (CV) com superfície de controle (CS). O sistema material (massa que se move com o fluido) é denotado por
. - Existem forças corpóreas (por exemplo peso) representadas por densidade de força
(força por unidade de volume) e forças de superfície (trações) dadas por sobre a superfície do CV. - Assume-se que todas as funções são suficientemente regulares para aplicar teoremas de cálculo vetorial (teorema da divergência etc.).
- Não devo resolver nenhum caso numérico — só deduzir as equações gerais.
Passo 2
Enunciado geral do Teorema de Transporte de Reynolds (forma vetorial, para uma propriedade extensiva)
- Considere uma propriedade extensiva
associada ao sistema material (um conjunto de massa que se move com o fluido). Seja a correspondente propriedade por unidade de massa (ou seja, é a densidade específica de , tal que ). - O Teorema de Transporte de Reynolds relaciona a derivada temporal total (derivada material) dessa propriedade do sistema com integrais sobre um volume de controle fixo (ou móvel). Na forma para um volume de controle arbitrário (onde
é a velocidade da superfície de controle; para superfícies fixas ) temos:
Explicação dos símbolos (cada termo):
-
: derivada temporal total da propriedade do sistema material (taxa de variação de acompanhando as partículas de massa). -
: o sistema material (a massa que se move com o fluido). -
: volume de controle escolhido no espaço (região fixa ou móvel). -
: superfície que delimita o . -
: densidade de massa do fluido. -
: propriedade por unidade de massa (por exemplo para massa, para momento linear, para momento angular). -
e : elementos de volume e de área. -
: velocidade do fluido. -
: velocidade da superfície de controle (para superfícies fixas ). -
: vetor unitário normal exterior à superfície . - O segundo termo à direita é o fluxo convectivo da propriedade através da superfície de controle — ele conta o que entra e sai do
.
Passo 3
Interpretação física do RTT, em linguagem simples
- O RTT diz, em palavras, que a variação temporal da propriedade total de um conjunto de partículas (sistema) é igual à variação dessa propriedade dentro de um volume de controle fixo mais o que entra/ sai através da superfície por advecção. É a ponte entre a visão Lagrangiana (seguir partículas) e a visão Euleriana (fixar um volume no espaço).
- Na prática, escolhemos
de acordo com a quantidade que queremos conservar (massa, momento linear, momento angular) e aplicamos o RTT. Depois usamos o teorema da divergência para transformar integrais de superfície em integrais de volume e, por arbitrariedade do CV, obtemos a forma local (diferencial) da conservação.
Passo 4
Derivação da equação da conservação da massa (continuidade)
- Para massa total
temos (uma unidade de massa por unidade de massa). - Aplicando o RTT com
e tomando superfície de controle fixa ( ):
- A massa do sistema material não muda com o tempo, logo a derivada material é zero:
- Aplicamos o teorema da divergência ao termo de superfície:
- Assim obtemos:
- Como isso vale para qualquer volume de controle arbitrário, o integrando deve ser nulo ponto a ponto. Portanto a forma local (diferencial) da conservação da massa é:
- Observações didáticas e úteis na prova:
-
é a variação local da densidade no tempo. -
mede quanto “fluxo de massa” está divergindo do ponto (saída líquida de massa). - Para fluidos incompressíveis com
constante, essa equação reduz-se a . Isso é uma coisa que costuma cair na prova: verificar redução para incompressível.
-
Passo 5
Derivação da equação da quantidade de movimento linear (equação de Cauchy / forma conservativa)
- A quantidade de movimento linear total do sistema é
. Assim, escolhemos (um vetor). - Aplicando RTT (CV fixo,
):
- Pela segunda lei de Newton para o sistema material a taxa de variação do momento linear é igual à soma das forças externas aplicadas ao sistema. As forças externas dividem-se em:
- Forças corpóreas (por unidade de volume):
(por exemplo gravidade). - Forças de superfície (trações) sobre a superfície do CV:
. Pela tese de Cauchy temos , onde é o tensor de tensões (stress tensor).
- Forças corpóreas (por unidade de volume):
- Portanto, escrevemos o balanço integral de forças:
- Igualando com a expressão do RTT obtemos:
- Convertendo integrais de superfície em volume (teorema da divergência) nos termos que têm produto com
:
- Substituindo e reunindo termos:
- Como o
é arbitrário, o integrando deve ser nulo, resultando na forma conservativa (local) da equação de quantidade de movimento:
Passo 6
Passando para a forma convectiva (forma mais usada e intuitiva)
- Expandimos o lado esquerdo usando identidades de derivadas:
- Mas o termo entre parênteses é exatamente a continuação da equação de conservação de massa, que é zero:
. Assim o último termo some. - Obtemos a forma convectiva (ou forma não-conservativa) clássica da equação de movimento:
- Interpretação rápida dos termos:
-
é a densidade de inércia — massa por volume multiplicada pela aceleração material. -
representa as forças internas por unidade de volume (gradientes de pressão e tensão viscosa). -
são forças corpóreas por unidade de volume (por exemplo gravidade).
-
Passo 7
Derivação da conservação do momento angular (balanço do momento angular)
- A quantidade de momento angular total do sistema (em relação à origem) é
onde
é o vetor posição (do ponto considerado em relação à origem).
- Aplicamos o RTT com
(a propriedade por unidade de massa):
- Pela mecânica, a taxa de variação do momento angular do sistema é igual ao momento (torque) resultante das forças externas aplicadas ao sistema. As forças externas têm momento:
- Momento das forças corpóreas:
. - Momento das forças de superfície (trações):
.
- Momento das forças corpóreas:
- Assim o balanço integral é:
- Convertendo as integrais de superfície em integrais de volume:
- Reunindo tudo:
- Como o
é arbitrário, o integrando deve ser nulo pontualmente. Essa é a forma local do balanço de momento angular:
Passo 8
Consequência importante: simetria do tensor de tensões (quando não há momentos internos)
- Podemos relacionar o balanço de momento angular com o balanço de momento linear já obtido. Subtraindo
(a equação local de momento linear) do lado esquerdo, e usando identidades vetoriais, chega-se (após manipulações que usam constante em derivadas temporais espaciais) à condição
- Aplicando identidade em componentes e usando arbitrariedade do
chega-se à conclusão clássica: na ausência de momentos (couples) por unidade de volume ou por unidade de superfície, o tensor de tensões deve ser simétrico ponto a ponto:
- Em palavras: a conservação do momento angular, para um continuum sem torques internos independentes, implica que as tensões não têm componente de “momento puro” e o tensor de tensões é simétrico. Isso é frequentemente usado para reduzir incógnitas nas equações do movimento.