Escreva o Teorema de Transporte de Reynolds e explique o que significa cada um dos termos. Baseado nele obtenha a equação da conservação da massa e da quantidade de movimento linear e angular.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Escrever o Teorema de Transporte de Reynolds (RTT) e explicar o significado de cada termo.
  • A partir do RTT, obter a equação da conservação da massa.
  • A partir do RTT, obter a equação da conservação da quantidade de movimento linear.
  • A partir do RTT, obter a equação da conservação da quantidade de movimento angular.
Informações / coisas que podemos usar (pressupostos padrão de um problema de mecânica de fluidos/continua):
  • Temos um campo de densidade \rho(\mathbf{x},t) e um campo de velocidade \mathbf{v}(\mathbf{x},t) definidos no domínio do fluido.
  • Podemos usar um volume de controle (CV) com superfície de controle (CS). O sistema material (massa que se move com o fluido) é denotado por m.
  • Existem forças corpóreas (por exemplo peso) representadas por densidade de força \rho\mathbf{f} (força por unidade de volume) e forças de superfície (trações) dadas por \mathbf{t} sobre a superfície do CV.
  • Assume-se que todas as funções são suficientemente regulares para aplicar teoremas de cálculo vetorial (teorema da divergência etc.).
  • Não devo resolver nenhum caso numérico — só deduzir as equações gerais.

Passo 2

Enunciado geral do Teorema de Transporte de Reynolds (forma vetorial, para uma propriedade extensiva)
  • Considere uma propriedade extensiva B associada ao sistema material (um conjunto de massa que se move com o fluido). Seja b a correspondente propriedade por unidade de massa (ou seja, b é a densidade específica de B, tal que B=\int_{m} b\,dm).
  • O Teorema de Transporte de Reynolds relaciona a derivada temporal total (derivada material) dessa propriedade do sistema com integrais sobre um volume de controle fixo (ou móvel). Na forma para um volume de controle arbitrário (onde \mathbf{v}_{CS} é a velocidade da superfície de controle; para superfícies fixas \mathbf{v}_{CS}=\mathbf{0}) temos:
\frac{d}{dt}\int_{m} b\,dm = \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV} \rho b\, dV + \int_{CS} \rho b\,\bigl(\mathbf{v}-\mathbf{v}_{CS}\bigr)\cdot\mathbf{n}\; dA.
Explicação dos símbolos (cada termo):
  • \displaystyle \frac{d}{dt}\int_{m} b\,dm: derivada temporal total da propriedade B do sistema material (taxa de variação de B acompanhando as partículas de massa).
  • m: o sistema material (a massa que se move com o fluido).
  • CV: volume de controle escolhido no espaço (região fixa ou móvel).
  • CS: superfície que delimita o CV.
  • \rho(\mathbf{x},t): densidade de massa do fluido.
  • b(\mathbf{x},t): propriedade por unidade de massa (por exemplo b=1 para massa, b=\mathbf{v} para momento linear, b=\mathbf{r}\times\mathbf{v} para momento angular).
  • dV e dA: elementos de volume e de área.
  • \mathbf{v}(\mathbf{x},t): velocidade do fluido.
  • \mathbf{v}_{CS}: velocidade da superfície de controle (para superfícies fixas \mathbf{v}_{CS}=\mathbf{0}).
  • \mathbf{n}: vetor unitário normal exterior à superfície CS.
  • O segundo termo à direita é o fluxo convectivo da propriedade através da superfície de controle — ele conta o que entra e sai do CV.

Passo 3

Interpretação física do RTT, em linguagem simples
  • O RTT diz, em palavras, que a variação temporal da propriedade total de um conjunto de partículas (sistema) é igual à variação dessa propriedade dentro de um volume de controle fixo mais o que entra/ sai através da superfície por advecção. É a ponte entre a visão Lagrangiana (seguir partículas) e a visão Euleriana (fixar um volume no espaço).
  • Na prática, escolhemos b de acordo com a quantidade que queremos conservar (massa, momento linear, momento angular) e aplicamos o RTT. Depois usamos o teorema da divergência para transformar integrais de superfície em integrais de volume e, por arbitrariedade do CV, obtemos a forma local (diferencial) da conservação.

Passo 4

Derivação da equação da conservação da massa (continuidade)
  • Para massa total B=m temos b=1 (uma unidade de massa por unidade de massa).
  • Aplicando o RTT com b=1 e tomando superfície de controle fixa ( \mathbf{v}_{CS}=\mathbf{0}):
\frac{d}{dt}\int_{m} 1\;dm = \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV} \rho\;dV + \int_{CS} \rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\; dA.
  • A massa do sistema material não muda com o tempo, logo a derivada material é zero:
0 = \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV} \rho\;dV + \int_{CS} \rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\; dA.
  • Aplicamos o teorema da divergência ao termo de superfície:
\int_{CS} \rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\; dA = \int_{CV} \nabla\cdot(\rho\mathbf{v})\; dV.
  • Assim obtemos:
0 = \int_{CV} \left( \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) \right) dV.
  • Como isso vale para qualquer volume de controle arbitrário, o integrando deve ser nulo ponto a ponto. Portanto a forma local (diferencial) da conservação da massa é:
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) = 0.
  • Observações didáticas e úteis na prova:
    • \partial_t \rho é a variação local da densidade no tempo.
    • \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) mede quanto “fluxo de massa” está divergindo do ponto (saída líquida de massa).
    • Para fluidos incompressíveis com \rho= constante, essa equação reduz-se a \nabla\cdot\mathbf{v}=0. Isso é uma coisa que costuma cair na prova: verificar redução para incompressível.

Passo 5

Derivação da equação da quantidade de movimento linear (equação de Cauchy / forma conservativa)
  • A quantidade de movimento linear total do sistema é \displaystyle \mathbf{P} = \int_{m} \mathbf{v}\; dm. Assim, escolhemos b=\mathbf{v} (um vetor).
  • Aplicando RTT (CV fixo, \mathbf{v}_{CS}=\mathbf{0}):
\frac{d}{dt}\int_{m}\mathbf{v}\; dm = \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV} \rho\mathbf{v}\; dV + \int_{CS} \rho\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\; dA.
  • Pela segunda lei de Newton para o sistema material a taxa de variação do momento linear é igual à soma das forças externas aplicadas ao sistema. As forças externas dividem-se em:
    • Forças corpóreas (por unidade de volume): \rho\mathbf{f} (por exemplo \mathbf{f}=\mathbf{g} gravidade).
    • Forças de superfície (trações) sobre a superfície do CV: \mathbf{t}. Pela tese de Cauchy temos \mathbf{t}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}, onde \boldsymbol{\sigma} é o tensor de tensões (stress tensor).
  • Portanto, escrevemos o balanço integral de forças:
\frac{d}{dt}\int_{m}\mathbf{v}\; dm = \int_{CV} \rho\mathbf{f}\; dV + \int_{CS} \boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}\; dA.
  • Igualando com a expressão do RTT obtemos:
\frac{\partial}{\partial t}\int_{CV} \rho\mathbf{v}\; dV + \int_{CS} \rho\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\; dA = \int_{CV} \rho\mathbf{f}\; dV + \int_{CS} \boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}\; dA.
  • Convertendo integrais de superfície em volume (teorema da divergência) nos termos que têm produto com \mathbf{n}:
\int_{CS} \rho\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\; dA = \int_{CV} \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}\otimes\mathbf{v})\; dV, \qquad \int_{CS} \boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}\; dA = \int_{CV} \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}\; dV.
  • Substituindo e reunindo termos:
\int_{CV} \left( \frac{\partial}{\partial t}(\rho\mathbf{v}) + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}\otimes\mathbf{v}) - \rho\mathbf{f} - \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} \right) dV = \mathbf{0}.
  • Como o CV é arbitrário, o integrando deve ser nulo, resultando na forma conservativa (local) da equação de quantidade de movimento:
\frac{\partial}{\partial t}(\rho\mathbf{v}) + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}\otimes\mathbf{v}) = \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} + \rho\mathbf{f}.

Passo 6

Passando para a forma convectiva (forma mais usada e intuitiva)
  • Expandimos o lado esquerdo usando identidades de derivadas:
\frac{\partial}{\partial t}(\rho\mathbf{v}) + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}\otimes\mathbf{v}) = \rho\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \rho(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} + \mathbf{v}\left(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v})\right).
  • Mas o termo entre parênteses é exatamente a continuação da equação de conservação de massa, que é zero: \partial_t \rho + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) = 0. Assim o último termo some.
  • Obtemos a forma convectiva (ou forma não-conservativa) clássica da equação de movimento:
\rho\left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}\right) = \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} + \rho\mathbf{f}.
  • Interpretação rápida dos termos:
    • \rho(\partial_t \mathbf{v} + \mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v}) é a densidade de inércia — massa por volume multiplicada pela aceleração material.
    • \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} representa as forças internas por unidade de volume (gradientes de pressão e tensão viscosa).
    • \rho\mathbf{f} são forças corpóreas por unidade de volume (por exemplo gravidade).

Passo 7

Derivação da conservação do momento angular (balanço do momento angular)
  • A quantidade de momento angular total do sistema (em relação à origem) é
\mathbf{H} = \int_{m} \mathbf{r}\times\mathbf{v}\; dm,
onde \mathbf{r} é o vetor posição (do ponto considerado em relação à origem).
  • Aplicamos o RTT com b=\mathbf{r}\times\mathbf{v} (a propriedade por unidade de massa):
\frac{d}{dt}\int_{m} \mathbf{r}\times\mathbf{v}\; dm = \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV} \rho\,(\mathbf{r}\times\mathbf{v})\; dV + \int_{CS} \rho\,(\mathbf{r}\times\mathbf{v})\;(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\; dA.
  • Pela mecânica, a taxa de variação do momento angular do sistema é igual ao momento (torque) resultante das forças externas aplicadas ao sistema. As forças externas têm momento:
    • Momento das forças corpóreas: \int_{CV} \rho\,(\mathbf{r}\times\mathbf{f})\; dV.
    • Momento das forças de superfície (trações): \int_{CS} \mathbf{r}\times(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n})\; dA.
  • Assim o balanço integral é:
\frac{\partial}{\partial t}\int_{CV} \rho\,(\mathbf{r}\times\mathbf{v})\; dV + \int_{CS} \rho\,(\mathbf{r}\times\mathbf{v})\;(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\; dA = \int_{CV} \rho\,(\mathbf{r}\times\mathbf{f})\; dV + \int_{CS} \mathbf{r}\times(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n})\; dA.
  • Convertendo as integrais de superfície em integrais de volume:
\int_{CS} \rho\,(\mathbf{r}\times\mathbf{v})\;(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\; dA = \int_{CV} \nabla\cdot\bigl(\rho\,(\mathbf{r}\times\mathbf{v})\otimes\mathbf{v}\bigr)\; dV,
\int_{CS} \mathbf{r}\times(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n})\; dA = \int_{CV} \nabla\cdot\bigl(\mathbf{r}\times\boldsymbol{\sigma}\bigr)\; dV.
  • Reunindo tudo:
\int_{CV} \left( \frac{\partial}{\partial t}\bigl(\rho\,(\mathbf{r}\times\mathbf{v})\bigr) + \nabla\cdot\bigl(\rho\,(\mathbf{r}\times\mathbf{v})\otimes\mathbf{v}\bigr) - \rho\,(\mathbf{r}\times\mathbf{f}) - \nabla\cdot\bigl(\mathbf{r}\times\boldsymbol{\sigma}\bigr) \right) dV = \mathbf{0}.
  • Como o CV é arbitrário, o integrando deve ser nulo pontualmente. Essa é a forma local do balanço de momento angular:
\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\rho\,(\mathbf{r}\times\mathbf{v})\bigr) + \nabla\cdot\bigl(\rho\,(\mathbf{r}\times\mathbf{v})\otimes\mathbf{v}\bigr) = \rho\,(\mathbf{r}\times\mathbf{f}) + \nabla\cdot\bigl(\mathbf{r}\times\boldsymbol{\sigma}\bigr).

Passo 8

Consequência importante: simetria do tensor de tensões (quando não há momentos internos)
  • Podemos relacionar o balanço de momento angular com o balanço de momento linear já obtido. Subtraindo \mathbf{r}\times (a equação local de momento linear) do lado esquerdo, e usando identidades vetoriais, chega-se (após manipulações que usam \mathbf{r} constante em derivadas temporais espaciais) à condição
\int_{CV} \bigl(\nabla\cdot(\mathbf{r}\times\boldsymbol{\sigma}) - \mathbf{r}\times(\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma})\bigr)\; dV = \mathbf{0}.
  • Aplicando identidade em componentes e usando arbitrariedade do CV chega-se à conclusão clássica: na ausência de momentos (couples) por unidade de volume ou por unidade de superfície, o tensor de tensões deve ser simétrico ponto a ponto:
\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^{T}.
  • Em palavras: a conservação do momento angular, para um continuum sem torques internos independentes, implica que as tensões não têm componente de “momento puro” e o tensor de tensões é simétrico. Isso é frequentemente usado para reduzir incógnitas nas equações do movimento.

Resposta

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) = 0
\frac{\partial}{\partial t}(\rho\mathbf{v}) + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}\otimes\mathbf{v}) = \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} + \rho\mathbf{f}
\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\rho\,(\mathbf{r}\times\mathbf{v})\bigr) + \nabla\cdot\bigl(\rho\,(\mathbf{r}\times\mathbf{v})\otimes\mathbf{v}\bigr) = \rho\,(\mathbf{r}\times\mathbf{f}) + \nabla\cdot\bigl(\mathbf{r}\times\boldsymbol{\sigma}\bigr)

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