O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado por C(x)=3 x^{2}+5 x+192. Quantas unidades deverão ser fabricadas para que o custo médio seja mínimo?

Passo 1

O enunciado dá o custo total de fabricar x unidades como
C(x)=3x^{2}+5x+192
e pede quantas unidades minimizam o custo médio. O conteúdo aqui é otimização usando derivadas: primeiro definimos o custo médio, depois encontramos onde sua derivada é zero e verificamos se é mínimo.

Passo 2

Definimos o custo médio \overline{C}(x) dividindo o custo total por x:
\overline{C}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{3x^{2}+5x+192}{x}=3x+5+\frac{192}{x}.

Passo 3

Para achar o ponto crítico, calculamos a derivada de \overline{C}(x) e igualamos a zero:
\overline{C}'(x)=3-\frac{192}{x^{2}}
\overline{C}'(x)=0\;\Longrightarrow\;3=\frac{192}{x^{2}}\;\Longrightarrow\;x^{2}=\frac{192}{3}=64\;\Longrightarrow\;x=8
(consideramos x>0 pois unidades fabricadas não podem ser negativas).

Passo 4

Verificamos que é mínimo conferindo a segunda derivada:
\overline{C}''(x)=\frac{384}{x^{3}}>0\quad\text{para }x>0,
logo em x=8 a função atinge um mínimo.

Resposta

8 unidades.

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