1. O custo fixo de produção de uma empresa é de R \ 800,00 . O custo marginal é dado poréC^{\prime}(x)=0.03 x^{2}-0.12 x+5 . Ache a função custo total. \(O\) custo marginal \(C^{\prime}(x)\) é a derivada da função custo total \(C(x)\). Assim, para encontrar \(C(x)\) integramos a função custo marginal. \(C(x)=\int\left(0.03 x^{2}-0.12 x+5\right) d x\) \(C(x)=0.03 \int x^{2} d x-0.12 \int x d x+5 \int d x\) \(C(x)=\frac{0.03}{3} x^{3}-\frac{0.12}{2} x^{2}+5 x+k\) \(C(x)=0.01 x^{3}-0.06 x^{2}+5 x+k\) Inicialmente em \(x=0\) a empresa possui um custo fixo de \(R \\) 800,00.
    800=0.01(0)^{3}-0.06(0)^{2}+50(0)+k \Rightarrow k=800

Passo 1

O enunciado apresenta o custo marginal
C'(x)=0,03x^{2}-0,12x+5,
que é a derivada da função custo total C(x), e informa o custo fixo C(0)=800.
Para obter C(x) vamos integrar C'(x) e depois ajustar a constante de integração usando C(0)=800.

Passo 2

Integramos termo a termo:
C(x)=\int\bigl(0.03x^{2}-0.12x+5\bigr)\,dx.
Calculando cada parte, temos
\int 0.03x^{2}\,dx = 0.01x^{3}, \qquad \int -0.12x\,dx = -0.06x^{2}, \qquad \int 5\,dx = 5x.
Logo
C(x)=0.01x^{3}-0.06x^{2}+5x+k,
onde k é a constante de integração.

Passo 3

Usamos a condição do custo fixo: C(0)=800. Substituindo x=0 em
C(0)=0.01\cdot0^{3}-0.06\cdot0^{2}+5\cdot0+k = k
devemos ter k=800.

Resposta

C(x)=0.01x^{3}-0.06x^{2}+5x+800.

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