1. Um procedimento clínico comum para se estudar o metabolismo do cálcio em pessoas (a razão na qual o corpo assimila e usa o cálcio) é injetar cálcio quimicamente marcado na corrente sanguínea e então medir quão rapidamente este cálcio é removido do sangue. Suponhamos t dado em dias contado após a injeção de cálcio marcado, A a quantidade restante de cálcio marcado no sangue dado por A=t^{-\frac{3}{2}}, t \geq 0,5.
    (a) Quão rápido está o corpo removendo cálcio do sangue quanto t=1 ?
A taxa de remoção é dado por A^{\prime}(t). Assim,
A^{\prime}(t)=-\frac{3}{2} t^{-\frac{5}{2}}
A^{\prime}(1)=-\frac{3}{2}(1)^{-\frac{5}{2}}=-\frac{3}{2} quantidade / dia
14. Suponha que o peso em gramas de um tumor canceroso no tempo t é w(t)=0,1 t^{2}, onde t é medido em semanas. Qual a razão de crescimento do tumor, em gramas por semana, quando \mathrm{t}=5 ?
A taxa de crescimento do tumor é dado por:
w^{\prime}(t)=0.2 t
w^{\prime}(5)=0.2(5)=1 \mathrm{~g} / semana. O tumor cresce a uma taxa de 1 g por semana na quinta semana.

Passo 1

O enunciado envolve duas partes que usam derivadas de funções de potência. Na parte (a) temos a quantidade de cálcio marcado no sangue
A(t)=t^{-\frac{3}{2}},\quad t\ge0,5
e queremos a taxa de remoção, que é A'(t) avaliada em t=1.
Na parte (b) temos o peso do tumor
w(t)=0,1\,t^{2},\quad t\text{ em semanas}
e queremos a taxa de crescimento w'(t) em t=5.

Passo 2

Para calcular a derivada de
A(t)=t^{-\frac{3}{2}}
usamos a regra de potência: se f(t)=t^{n} então
f'(t)=n\,t^{n-1}.
Aqui n=-\tfrac{3}{2}, logo
A'(t)=-\tfrac{3}{2}\,t^{-\frac{3}{2}-1}=-\tfrac{3}{2}\,t^{-\frac{5}{2}}.

Passo 3

Agora avaliamos em t=1:
A'(1)=-\tfrac{3}{2}\,(1)^{-\frac{5}{2}}=-\tfrac{3}{2}.
Isso significa que a quantidade de cálcio marcado no sangue está diminuindo a uma razão de \tfrac{3}{2} unidades por dia (o sinal negativo indica remoção).

Passo 4

Para a segunda função
w(t)=0,1\,t^{2}
aplicamos novamente a regra de potência com n=2:
w'(t)=0,1\cdot 2\,t^{2-1}=0,2\,t.

Passo 5

Avaliando em t=5 semanas:
w'(5)=0,2\cdot 5=1.
Isso significa que, na quinta semana, o tumor está crescendo a 1 grama por semana.

Resposta

(a) \displaystyle A'(1)=-\tfrac{3}{2} unidades/dia.
(b) \displaystyle w'(5)=1 g/semana.

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