O custo de produção (em reais) de
unidades de um carrinho metálico é dado por
. Dessa forma, o custo médio por unidade é expresso por
. Quantas unidades do carrinho devem ser produzidas para que o custo por unidade não seja superior a
15,00 ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (peguei estas expressões diretamente do enunciado):
- O custo total de produção de
unidades é dado por . - O enunciado também apresenta a expressão do custo médio por unidade como
. - A pergunta é: “Quantas unidades do carrinho devem ser produzidas para que o custo por unidade não seja superior a
?” — ou seja, queremos os valores de tais que o custo por unidade seja menor ou igual a .
Observações sobre a variável:
-
representa o número de unidades produzidas, logo devemos ter . - Na prática
deve ser um número inteiro (não se produz fração de unidade), mas primeiro resolvemos a desigualdade em e depois ajustamos para inteiros.
Passo 2
Entendendo o conceito usado aqui (aulas rápidas e diretas):
- Custo médio por unidade significa “custo total dividido pelo número de unidades”. Se o custo total for
, o custo médio é . - No enunciado já foi dada a expressão do custo médio como
. Vou usar essa expressão como ponto de partida. - Quando o problema pede que o custo "não seja superior a
", em matemática isso vira a desigualdade . Explico: “não superior” significa “menor ou igual”.
Passo 3
Escrevendo a desigualdade que precisamos resolver:
Aqui cada símbolo significa:
-
e são constantes numéricas (reais). -
é a variável (número de unidades), com . - O objetivo é encontrar os
que satisfazem essa desigualdade.
Passo 4
Manipulação algébrica passo a passo (explicando cada operação):
- Separe o quociente em termos mais simples, usando a propriedade
:
- Substitua isso na desigualdade:
- Subtraia
de ambos os lados (subtrair uma mesma quantidade preserva a desigualdade):
Passo 5
Continuando a solução e justificando sinais:
- Agora multiplicamos ambos os lados por
. Importante: como , ao multiplicar ambos os lados de uma desigualdade por o sentido da desigualdade não se inverte. (Se fosse negativo, o sentido inverteria — por isso deixamos claro .) - Multiplicando por
obtemos:
- Agora dividimos ambos os lados por
(dividir por número positivo também preserva o sentido):
- Calculando a divisão:
ou seja
.
Passo 6
Interpretação prática e checagem:
- A solução real da desigualdade é
com . Como representa unidades produzidas, na prática escolhemos inteiro. Portanto o menor número inteiro de unidades que atende à condição é . - Verificação rápida: para
,
logo exatamente
. Para
o custo médio será menor que
; para
será maior.
Resposta
Produzir pelo menos
unidades.